Статистичний розподіл вибірки

Припустимо, що вивчають деяку генеральну випадкову величину Х. Для цього проводять низку незалежних дослідів або спостережень, у кожному з яких величина Х набуває того чи іншого значення. Сукупність отриманих значень х₁,х₂,.,х_n величини Х (де n - кількість дослідів) і є утворена намивибірка. Цю сукупність часто називають статистичним рядом; він відіграє роль вихідного числового матеріалу, що підлягяє подальшій обробці та аналізу.

Перший етап обробки статистичного ряду - побудова так званого простого варіаційного ряду. Його отримують з елементів наявної вибірки, розмістивши х_і (і = 1,2,...,n) у порядку зростання (неспадання) їхніх значень.Позначимо члени нового ряду через х_(і), щоб відрізняти його від х_і. Тоді простий варіаційний ряд буде поданий як неспадна послідовність:

x₍₁₎, x₍₂₎,…., х _(п),

де х₍₁₎ ≤ х₍₂₎ ≤ …..≤ х _(п).

Наступний етап обробки вихідного статистичного ряду - побудова статистичного (емпіричного) закону розподілу. Форма його запису залежить від характеру досліджуваної випадкової величини Х.

Нехай Х - дискретна випадкова величина. Тоді найбільш природна форма статистичного закону розподілу вибірки описується за допомогою так званого згрупованого варіаційного ряду. Його отримують у такий спосіб: серед чисел простого варіаційного ряду відбирають усі різні і розміщують їх у порядку зростання:

х₁,х₂,.,х_k,

де х₁<х₂<...<х_k (k ≤ n). При цьому для виділених варіант х_і (і = 1,2,...,k) одночасно обчислюють частоти n_і, що їм відповідають або відповідні відносні частоти w_і;_; частота n_і дорівнює кількості спостережень, в яких випадкова величина Х набула значення х_i, а відносна частота (і = 1,2,...,k).

Очевидно, що ; .

Дискретним статистичним розподілом вибірки називається відповідність між варіантами та їхніми частотами або відносними частотами.

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна подати у формі таблиць:

• дискретний статистичний розподіл частот:

xi	х1	х2	…	xk
ni	п1	п2	…	nk

• дискретний статистичний розподіл відносних частот:

xi	х1	х2	…	xk
wi	w1	w2	…	wk

Приклад 1. Під час дослідження кількісної ознаки Х із генеральної сукупності було отримано вибірку: {4, 3, 6, 4, 7, 2, 5, 1, 2, 5, 4, 4, 3, 5, 6, 3, 4, 1, 3, 4}. Знайти обсяг вибірки, побудувати варіаційний ряд вибірки та її статистичний розподіл, а також розподіл відносних частот.

Розв’язання. Вибірка складається з 20 значень, то ж обсяг вибірки n=20.

Побудуємо варіаційний ряд вибірки:1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7.

У даній вибірці всього 7 варіант: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Знаходимо частоту кожної варіанти:, n₂=2, n₃=4, n₄=6, n₅=3, n₆=2, n₇=1.

Запишемо шуканий статистичний розподіл:

xi	1	2	3	4	5	6	7
ni	2	2	4	6	3	2	1

Розподіл відносних частот: w_i = n_i /n

xi	1	2	3	4	5	6	7
wi	0,1	0,1	0,2	0,3	0,15	0,1	0,05

╚═

Розглянемо тепер випадок, коли випадкова величина Х - неперервна. У такому разі (а також у випадку, коли випадкова величина дискретна і обсяг вибірки n >30) статистичний закон розподілу вибірки записують як інтервальний варіаційний ряд - частот або відносних частот. Для цього весь діапазон зміни ознаки від найменшого (х_min) до найбільшого (x_max) значення розбивають на певну кількість проміжків (частіше однакової довжини) [z₀,z₁), [z₁,z₂),...,[z_m-1,z_m) і збирають в окремі групи елементи сукупності, для яких величина Х набуває значень у кожному з проміжків.

Обсяг вибірки	Кількість інтервалів
30-60	6-8
60-100	7-10
100-200	9-12
200-500	11-17

Для визначення приблизної кількості інтервалів можна використати таку таблицю:

Для вибору оптимальної довжини частинного інтервалу [ z_і-1,z_i ) рекомендована формула: . Далі границі інтервалу знаходимо: z₀=x_min, z_i=z_i-1+h, а відповідне n_i – кількість значень, що потрапляють в частинний інтервал [ z_і-1,z_i ). Межі проміжків або беруть „круглими" числами, або визначають з точністю до а/2, де а- точність, з якою визначені значення вибірки. Це означає, що початок першого проміжка z₀ і кінець останнього z_т необов' язково збігаються відповідно з z_тin іz_тах. Вимагається лише, щоб z₀≤ x_тin і z_т > х_тіх. Якщо z_т = х_тіх, то будемо вважати, що в інтервальному варіаційному ряді останній проміжок є відрізком.

Частота п_і події Х є [z_і-1,z_І) обчислюється як кількість випробувань, в яких значення випадкової величини Х потрапило в і-ий проміжок, а відносна частота цієї події

Інтервальним статистичним розподілом вибірки називається відповідність між інтервалами варіаційного ряду та їхніми частотами або відносними частотами.

Інтервальний статистичний розподіл вибірки, як і дискретний, записують у формі таблиць:

• інтервальний статистичний розподіл частот:

[zі-1,zi)	[z0,z1)	[z1,z2)	[z2,z3)	…	[zm-1,zm)
ni	n1	п2	n3		nm

• інтервальний статистичний розподіл відносних частот:

[zі-1,zi)	[z0,z1)	[z1,z2)	[z2,z3)	…	[zm-1,zm)
wi	w1	w2	w3		wm

Інтервальний статистичний розподіл вибірки за необхідності можна замінити дискретним. Для цього досить частинні інтервали [z_і-1,z) замінити числами - серединами цих інтервалів (тобто прийняти ), а відповідні значення частот (відносних частот) залишити без змін.

Полігон та гістограма частот

Статистичний розподіл вибірки можна задати графічно полігоном або гістограмою частот (відносних частот).

Полігон розподілу вибірки використовується для зображення як дискретних, так і інтервальних варіаційних рядів, а гістограма - лише для інтервальних рядів.

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої послідовно з'єднують точки (х₁;n₁), (х₂;n₂),...,(х_k;n_k) координатної площини.

Щоб побудувати полігон частот, на осі абсцис відкладають варіанти х_і, а на осі ординат - відповідні частоти n_і. Далі, точки (х_і;n_і) з'єднують відрізками прямих і отримують полігон частот (рис.1).

Гістограмою частот називається східчаста фігура, яка складена з прямокутників, основами яких є частинні інтервали [z_і-1,z_і), а їхні висоти n_i.