Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Теоремы Лапласа



Выше мы рассмотрели формулу Бернулли, которая позволяет находить вероятность появления события в испытаниях раз. Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда число испытаний невелико. Если же, например, надо найти P 50(30), то в этом случае сталкиваемся с вычислением . Но даже не все современные калькуляторы могут вычислить это значение. При использовании стандартной записи числа приходится делать округления, отбрасывая значащие цифры, что приводит в процессе вычислений к накоплению погрешностей.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Заметим, что для частного случая, а именно для p =1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь иногда называют теоремой Муавра – Лапласа.

Мы приведем только формулировку этой теоремы, опуская ее доказательство.

Теорема 5.1 (локальная теорема Лапласа).

Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянно и отличается от нуля и единицы, то вероятность Pn (k) того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

, где . (5.2)

Функция называется малой функций Лапласа. Значения функции j(x), соответствующие положительному значению аргумента , определяется из соответствующей таблицы. Для отрицательных значений аргумента пользуются той же таблицей, так как j(x) четная функция, т.е. .

Вновь предположим, что производится испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Как вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях не менее и не более раз (для краткости будем говорить «от до раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим, опустив доказательство.

Теорема 5.2 (интегральная теорема Лапласа).

Если вероятность появления события в каждом испытании постоянно и отличается от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в n испытаниях от до раз, приближенно равна:

, где . (5.3)

Функция называется функций Лапласа. Значения функции F(x), соответствующие положительному значению аргумента и , определяется из соответствующей таблицы. Для отрицательных значений аргумента можно пользоваться той же таблицей, так как F(x) нечетная функция, т.е. . В таблице приводятся значения лишь до . При можно принять .

Замечание. Локальной и интегральной теоремами Лапласа на практике удобно пользоваться в случае, если npq >10. Если же npq <10, то эти формулы приводят к большим погрешностям.

Пример 5.2. Вероятность появления события A в каждом из 900 независимых испытаний равна p =0,8. Найти вероятность того, что событие A произойдет:

а) 750 раз;

б) не менее 710 раз и не более 740 раз.

Решение. а) Из условия следует, что n =900, k =750, p =0,8, поэтому q =0,2. Поскольку npq =900×0,8×0,2=144>10, то можно воспользоваться локальной теоремой Лапласа.

Находим x:

.

По таблице значений функции находим j(2,5)=0,0175.

Согласно локальной теореме Лапласа получаем искомую вероятность:

.

б) Из условия следует, что n =900, k 1=710, k 2=740, p =0,8, поэтому q =0,2. Находим x 1 и x 2:

;

.

По таблице значений функции Лапласа, учитывая нечетность функции, определяем

F(x 1)=F(-0,83)= - 0,2967;

F(x 2)=F(1,67)=0,4525.

Согласно интегральной теореме Лапласа получаем искомую вероятность:

.

,





Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 952 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...