Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события .

В разных независимых испытаниях событие может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Мы будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие имеет одну и ту же вероятность.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Будем считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же, а именно равно . Следовательно, вероятность не наступления события в каждом испытании также постоянна и равна .

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при испытаниях событие осуществиться ровно раз и, следовательно, не осуществиться раз.

Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие повторялось ровно раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события:

.

Искомую вероятность обозначим . Например, символ означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появилось 3 раза и, следовательно, не наступило 2 раза.

Поставленную задачу решает так называемая формула Бернулли.

Определение 5.1 (формула Бернулли).

Пусть производится n независимых испытаний. Вероятность появления события A в каждом испытании равна p. Тогда вероятность появления события A при n испытаниях ровно k раз находится по формуле:

. (5.1)

Пример 5.1. В проверочном тесте по русскому языку для каждого из десяти вопросов предлагается пять ответов (один из которых правильный). Какова вероятность того, что будут правильно даны ответы:

1. на восемь вопросов;
2. хотя бы на восемь вопросов.