Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Исходные данные:
Символическая запись схемы: .
Параметры схемы: R1=5Ом, R2=5Ом, R3=6Ом, R4=7Ом, R5=8Ом, R6=4Ом, E3=25В, E4=26В, J6=3А.
Требуется:
1. Начертить схему электрической цепи с обозначением узлов и элементов ветвей, соблюдая требования ЕСКД.
2. Определить и составить необходимое число уравнений по законам Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.
3. Определить токи ветвей методом контурных токов и узловых потенциалов и свести их в таблицу.
4. Проверить результаты расчета по уравнениям баланса мощностей.
5. Определить ток в первой ветви методом эквивалентного генератора.
Решение:
1. Анализируемая электрическая схема представлена на рисунке 1.1.
Рис.1.1.
2. Составим уравнения по законам Кирхгофа для нахождения токов в ветвях схемы. Предварительно выберем произвольно положительные направления токов в ветвях и обозначим их на схеме (см. рисунок 1.1.).
По первому закону Кирхгофа составим nу-1 уравнений, где nу – число узлов в схеме. Для исходной схемы nу=4. Составляем 3 уравнения для узлов а, в и с. Вытекающие токи из узла будем считать положительными, втекающие - отрицательными. В результате получим:
(1.1)
По второму закону Кирхгофа составляется число уравнений, равное числу ветвей без источника тока (nв-nвист), за вычетом числа уравнений составленных по первому закону Кирхгофа, т.е. (nв-nвист)-(nу-1). Для рассматриваемой схемы nв=6, nвист=1. Таким образом, по второму закону Кирхгофа требуется составить два уравнения. Выберем и обозначим на схеме (см. рис. 1.1) положительные направления обхода контуров (по часовой стрелке – на схеме обозначены – «НО»).
Имеем:
(1.2)
Таким образом, решая совместно уравнения (1.1) и (1.2) можно определить неизвестные токи в ветвях.
3. Определим токи в ветвях методом контурных токов. Выберем положительные направления контурных токов и обозначим их на схеме (см. рисунок 1.2.).
Рис. 1.2.
(1.3)
Заметим, что (по условию).
С учетом этого система (1.3) преобразуется в систему их двух уравнений:
(1.4)
Подставим в (1.4) числовые данные, получим:
(1.5)
Решим систему (1.5), используя метод подстановки. Для этого умножим первое уравнение (1.5) на 5 и сложим полученное выражение со вторым уравнением (1.5), откуда найдем:
(1.6)
Замечание. Система уравнений (1.5) может быть решена другими известными математическими методами, например, с помощью правила Крамера или с использованием обратной матрицы системы.
Подставим (1.6) в первое уравнение (1.5), в результате получим:
(1.7)
С учетом найденных контурных токов (1.6) и (1.7) определим искомые токи в ветвях:
Правильность расчета токов в ветвях проверим, используя условие баланса мощностей (сумма мощностей источников энергии в цепи должна равняться сумме мощностей потребителей). Данное условие записывается в виде:
.
Мощность потребителей (в нашем случае это сопротивления схемы, на которых выделяется энергия в виде тепла) будет иметь вид:
.
Суммируя рассчитанные мощности отдельных потребителей, получим:
Мощность источников энергии определим как:
Замечание. В данном соотношении в правой части первые два слагаемых это мощности источников эдс, а третье слагаемое – мощность источника тока. Источники энергии могут работать в двух режимах: в режиме собственно источника, тогда мощность отдается в схему и ее величина положительна и в режиме потребителя, тогда мощность поступает в источник из схемы и ее величина отрицательна.
Определим мощность источников эдс:
Определим мощность источника тока. Для этого найдем напряжение на источнике тока . Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, содержащего источник тока (см. рисунок 1.2).
Рассчитываем мощность источника тока:
Таким образом, имеем:
Расчет токов в ветвях считается выполненным верно, если разница между мощностями g не превышает 5%.
Таким образом, искомые токи в ветвях рассчитаны верно.
4. Определим токи в ветвях методом узловых потенциалов. Обозначим на схеме (рисунок 1.3) узлы цифрами 0, 1, 2, 3. Примем потенциал точки 0 равным нулю, т.е. .
Составим уравнения по методу узловых потенциалов:
(1.8)
В соотношении (1.8) - сумма проводимостей ветвей, сходящихся в k – узле, а - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы k и m, взятая со знаком минус. В правые части (1.8) входят узловые токи.
(1.9)
Рис.1.3
Замечание. При расчете проводимостей необходимо учесть, что проводимость ветви с источником тока равна нулю (сопротивление источника тока равно бесконечности). При расчете узловых токов необходимо учесть, что эдс (токи от источников тока) подтекающие к узлу положительны, а утекающие отрицательны.
(1.10)
Рассчитаем проводимости (1.9) и узловые токи (1.10) и полученные данные подставим в (1.8):
(1.11)
Решаем полученную систему с помощью правила Крамера:
где - определитель матрицы составленной из коэффициентов правой части соотношения (1.11), - определители матриц из коэффициентов правой части соотношения (1.11), в которых соответственно первый, второй и третий столбец заменены коэффициентами правой части соотношения (1.11).
Для нахождения токов в ветвях воспользуемся законом Ома для участка цепи с эдс:
Как видно из полученных результатов, полученные токи совпали с токами, рассчитанными по методу контурных токов.
Сведем полученные результаты в таблицу 1.1.
Таблица 1.1.
Метод | Токи | |||||
I1, А | I2, А | I3, А | I4, А | I5, А | I6, А | |
МКТ | 1,736 | -3,984 | -2,72 | -0,984 | 0,984 | |
МУП | 1,736 | -3,984 | -2,72 | -0,9833 | 0,9844 |
5. Определим ток в первой ветви методом эквивалентного генератора. Воспользуемся известным соотношением:
, (1.12)
где - напряжение эквивалентного генератора (напряжение между узлами 1 и 2 при разорванной ветви, в которой ищется ток), - сопротивление всей схемы, относительно узлов 1 и 2.
Замечание. При определении необходимо закоротить источники эдс, а ветви содержащие источники тока разорвать.
Электрическая схема для определения представлена на рисунке 1.4.
Рис.1.4
(1.13)
Для определения напряжения исходная электрическая схема преобразуется к виду, изображенному на рисунке 1.5.
Рис.1.5
Для нахождения искомого напряжения, воспользуемся методом контурных токов, для этого обозначим на схеме (см. рисунок 1.5) направления контурных токов.
Запишем уравнение для первого контура:
Из схемы (рисунок 1.5) следует, что
Воспользуемся законом Ома для участка цепи с эдс (в нашем случае это участок 1-2):
(1.14)
Подставим найденные значения (1.13) и (1.14) в соотношение (1.12) окончательно получим:
Полученный результат совпал с ранее полученными результатами.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 730 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!