О погрешностях измерений

Виды измерений физических величин и их погрешностей

При измерении любой физической величины получить её абсолютно точное (истинное) значение невозможно из-за присутствующих всегда погрешностей измерений.

Различают прямые и косвенные измерения.

Измерение называют прямым, если значение измеряемой величины (например, длины или массы предмета) находят в результате сравнения с мерой этой же величины (измерительной линейкой, гирями определенной массы) или считываются со шкалы прибора, используемого для проведения наблюдения (например, вольтметра при измерении электрического напряжения).

Измерение называют косвенным, если значение измеряемой величины находят с помощью известной функциональной зависимости, которая связывает искомую величину с величинам, получаемыми непосредственно при прямых измерениях (например, сила электрического тока находится с помощью закона Ома по прямым измерениям электрического напряжения и сопротивления).

Все возможные погрешности измерений по характеру происхождения разделяют на три типа:

1. Грубая погрешность (промах) – чрезмерно большая погрешность, явно искажающая результат измерения.

Эта погрешность, связанная с невнимательностью или ошибкой экспериментатора, исключается из протокола измерений.

2. Систематическая погрешность – погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

Эта погрешность связана со сдвигом измеренного значения некоторой величины от её истинного значения. Если удается обнаружить причину или найти величину сдвига, то систематическую погрешность можно исключить введением поправки к измеренному значению величины. Однако, не существует универсальных правил, позволяющих найти систематическую погрешность данного измерения.

3. Случайные погрешности – погрешности, появление которых не может быть предупреждено.

Эти погрешности проявляются в разбросе отсчетов при повторных измерениях, проведенных в одних и тех же доступных контролю условиях, т.к. обусловлены факторами, меняющимися от измерения к измерению, действие которых на практике не всегда может быть учтено.

Выполнив измерение физической величины несколько раз, используя теорию погрешностей измерений, можно дать количественную оценку случайной погрешности и указать вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины находится внутри некоторого интервала.

Величину случайной погрешности можно уменьшить многократным повторением измерения. Использование теории случайных погрешностей оправдано лишь в том случае, если повторные измерения дают результаты, заметно отличающиеся друг от друга.

О точности измерительных приборов

Развитие измерительной техники привело к появлению разнообразных приборов, отличающихся своей точностью.

Точность прибора – это свойство измерительного прибора, характеризующее степень приближения показаний данного измерительного прибора к действительным значениям измеряемой величины.

Точность прибора либо задается классом точности[1] прибора, либо указана в паспорте, прилагаемом к прибору. Погрешность, вносимая прибором при каждом отдельном измерении (приборная погрешность, Δ х_пр.), связана с точностью прибора. Эта погрешность равна той доле деления шкалы прибора, до которой с уверенностью в правильности результата можно производить отсчет.

В тех случаях, когда класс точности не указан и нет указаний в паспорте прибора, приборная погрешность принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора: Δ х_пр. = ± 0,5 C, где С – цена наименьшего деления шкалы прибора.

В том случае, когда приборная и случайная погрешности сравнимы по величине, полную погрешность измерений можно представить в виде суммы двух составляющих: Δ х = Δ х_случ. + Δ х_пр..

Точность прибора невозможно превзойти никаким методом измерения на нем. Для более точных измерений применяют приборы более высокого класса.

Порядок операций при обработке результатов серии измерений

При прямых измерениях:

1. Результаты каждого измерения записать в таблицу.

2. Вычислить среднее значение из n измерений

(1)

3. Найти погрешности отдельных измерений

.

4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений

(D x ₁)², (D x ₂)²,..., (D x_n)².

5. Оценить среднеквадратичную погрешность среднего значения

(2)

6. Определить коэффициент Стьюдента t _na (по таблице) для доверительной вероятности Р = 0,95 и числа произведенных измерений n.

7. Найти случайную погрешность результата измерений:

(3)

8. Если случайная погрешность результата измерений D x окажется сравнимой[2] с систематической (погрешностью прибора D x _пр), то в качестве погрешности результата измерений следует взять величину

. (4)

9. Окончательный результат записать в виде:

.

10. Оценить относительную погрешность результата измерений

.

При косвенных измерениях:

1. Для каждой непосредственно измеренной величины (X ₁, X ₂,..., X _m), входящей в расчетную формулу для определения X (X = f (X ₁, X ₂,..., X _m)), провести обработку в описанной выше последовательности, т.е. вычислить средние арифметические значения по формуле (1) и погрешности D X ₁, D X ₂,..., D X _m по формуле (4) для доверительной вероятности Р = 0,95.

2. При необходимости учесть систематическую (приборную) погрешность каждой серии измерений

.

где индекс i относится к соответствующей измеренной величине, а D X _{пр i} – систематическая погрешность прибора, используемого для измерения Х_i.

3. Вычислить наиболее вероятное значение X:

4. Вычислить частные производные при средних значениях величин X ₁, X _2, ..., X_m.

5. Определить абсолютную погрешность косвенного измерения X по общей формуле:

.

Здесь и выше m – число независимых непосредственно измеренных величин. Округлить полученный результат до двух значащих разрядов.

6. Записать окончательный результат в виде

.

7. Определить относительную погрешность косвенного измерения X:

.

Правила представления результата измерения

Все результаты измерений, а также вычисленный по ним окончательный результат приводят вместе с погрешностью, которую выражают в тех же единицах, что и саму измеряемую величину, например: l = (1,572 ± 0,004) м.

Среднее значение < x> необходимо округлять так, чтобы оно оканчивалось цифрой того же разряда, что и Δ х после её округления. Т.е. число и его погрешность всегда записывается так, чтобы их последние цифры принадлежали одному и тому же десятичному разряду. Значения погрешностей следует округлять, оставляя одну значащую цифру[3]. Округлять предпочтительно в сторону большего значения.

Примеры:

1. Получено: U = 124,4 В; Δ U = 1,1 В.

Следует записать: U = (124,4 ± 1,1) В.

2. Получено: V = 2,678•10³ см/с; Δ V = 3,2 см/с.

Следует записать: V = (2,678 ± 0,003) •10³ cм/с.

В промежуточных выкладках при расчете погрешностей нужно удерживать три-четыре значащие цифры.

При представлении окончательных результатов физических измерений часто применяют запись числовых значений в виде десятичной дроби, умноженной на необходимую степень числа десять.

Примеры:

1. При обработке группы результатов измерений получены:
< x> = 965,332 и Δ х = 8,35.

Результат округления записывают в виде: х = 965 ± 8.

2. При обработке группы результатов измерений получены:
< x> = 0,003893 и Δ х = 0,000282.

Результат округления записывают в виде: х = (38,9 ± 2,8)•10⁴.

3. Числа 3106; 0,0285; 0,120 записывают так:

3,106•10³; 2,85•10^-2; 1,2•10^-1.

Графическое представление результатов эксперимента

В ряде работ по результатам измерений требуется построить график.

График строят на миллиметровой бумаге, либо на бумаге в клетку. Допускается компьютерное представление графика.

Построение графика производится в следующем порядке:

1. Установить пределы измерения величин, откладываемых на координатных осях.

2. Выбрать масштаб по осям координат в зависимости от требуемой точности измерений. В качестве единицы измерения графика (клеточка или сантиметр на миллиметровой бумаге) следует брать только 10 ⁿ; 2•10 ⁿ; 5•10 ⁿ единиц определяемой величины, где n –любое положительное или отрицательное число, начиная от нуля.

3. Масштаб выбирают с расчетом, чтобы поле графика приближалось к квадрату, а построенная прямая или кривая – к диагонали квадрата.

4. Выбирают начало координат. В начале координат могут стоят любые числа.

5. Наносят масштаб на координатные оси (на бумаге в клетку через 5 клеток, на миллиметровой бумаге – через 1, 2 или 5 см. Числа на координатных осях должны быть округленными. В конце координатных осей указывают величины, отложенные по осям координат, и единицы их измерения.

6. Наносят на график экспериментальные точки в виде крестиков, размах по высоте и ширине которых равен удвоенным погрешностям измерения, отложенным по осям величин. Значение координат точек на графике не пишут. Исключение делают только тогда, когда желают выделить какую-то точку.

7. Проводят при помощи лекала или линейки кривую или прямую, которая ближе всего подходит к экспериментальным точкам. Проведенная кривая является осреднением экспериментальных результатов. Поэтому экспериментальные точки могут быть как на кривой, так и под ней или над ней.

8. Проводя прямую линию (рис.1), нужно руководствоваться следующими правилами:

· прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначающие систематические погрешности отложенных величин;

· число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым;

· экспериментальные точки должны быть и выше, и ниже прямой во всем диапазоне значений x.

Рис.1. Прямая f = kx + b, проведенная через экспериментальные точки:

а, б – неправильно; в, д – правильно;

г – промах;

Иногда через набор точек невозможно провести прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис.1 г, д). Если из общего набора выпадает только одна точка (рис.1 г), то ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейность, то отсюда следует, что экспериментальные данные противоречат теоретической зависимости (f = kx + b). Если же наблюдаются случаи, показанные на рис.1 в или г, то можно сделать вывод, что экспериментальные данные подтверждают теоретическую зависимость.