Функциональная зависимость. Способы задания функций. Неявные, сложные и обратные функции. Область определения и область значения функций. Свойства функций

Тригонометрическая форма комплексного числа, модуль и аргумент. Операции на к.ч в триг. Форме.

Тригонометрической формой к.ч. z=a+b*I называется выражение вида z=r(cos f+i*sin f).

Операции над к.ч в тригонометрической форме.

1.умножение. z1*z2=r1*r2*(cos(f1+f2)+i*sin(f1+f2)).

2.деление. z1/z2=r1/r2*(cos(f1-f2)+i*sin(f1-f2))

3.возведение в степень к.ч по формуле Муавра. Z^n=r^n*(cos n*f+i*sin n*f)

4.извлечение корня n-й степени и к.ч. в тр. Форме. (sqrt z)^n=(sqrt r*(cosf+sin f))^n=(sqrt r)ⁿ*(cos(f+2pik/n)+i*sin(f+2pik/n))

Модулем комплексного числа z=a+b*I называется неотрицательный квадратный корень r=sqrt a^2+b^2. Модулем к.ч. это расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число.

Аргументом комплексного числа z=a+b*I называется f принадлежит R, такое что cos f=a/r, sin f=b/r, 0≤f≤2pi. Аргумент к.ч. это угол между положительным направлением оси ОХ и радиус вектором, изображающим длину комплексного числа (угол отсчитывается против часовой стрелки).

Функциональная зависимость. Способы задания функций. Неявные, сложные и обратные функции. Область определения и область значения функций. Свойства функций.

Определение 1. Правило (соответствие, закон), по которому для каждого значения переменной (аргумента) из заданного числового множества получаем определенное числовое значение, называется функцией.
Часто функции обозначают буквами у, g, h, n т.д., некоторые фун­кции имеют собственные имена sin х, cos х, tg х, ctg х, sgn х.
Определение 2. Множество чисел, на котором задана функция, на­зывают областью определения функции.
Будем обозначать область определения функции f через D(f). Дру­гими словами, D(f) - это множество всех значений аргумента х, для каждого из которых определено значение функции f (х).
Определение 3. Множество всех значений функции называется об­ластью значений функции.
Область значений функции f обозначается через E(f). Другими словами, E(f) - это множество всех значений из области определения D(f). Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).

Функция может быть задана: аналитически, таблично или графически.

Функция называется явной, если она задана уравнением y=f(x),в котором первая часть не содержит зависимой переменной, и неявной, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно зависимой переменной.

Пусть y=f(u) есть функция от переменной u, определенной на множестве X с областью значений Y, а переменная u в свою очередь является функцией u=fi(x) от переменной х, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве Х функция y=f(fi(x)) называется сложной функцией.

Если для функции y=f(x) можно взаимно однозначно определить функцию x=g(y), то функция x=g(y) называется обратной функцией к функции y=f(x).

Функция y=f(x) называется возрастающей на [a,b] если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) называется убывающей на [a,b] если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция, только возрастающая или только убывающая на [a,b], называется монотонной.

Функция f(x), определенная на множестве D называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если существует число M(m), такое что для всех x принадл.D выполняется неравенство f(x)< =M (f(x)>=m), иначе функция называется неограниченной.

Функция y=f(x) называется четной, если f(-x)=f(x) и нечетной, если f(-x)=-f(x). Иначе функция y=f(x) называется общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T>0, что при любом x принадл. Dзначение (x+T)€.D и f(x+T)=f(x). При этом число Т называется периодом функции