Перестановочная двойственность уравнений Максвелла

Теория современных антенн опирается на следующие основные принципы: принцип перестановочной двойственности (инвариантности), принцип Гюйгенса-Кирхгофа, принцип эквивалентности и принцип взаимности.

Рассмотрим систему уравнений Максвелла для комплексных векторов с учетом сторонних электрических токов

. (4.14)

Отметим, что в формулах (4.14) величины и являются комплексными векторами электромагнитного поля, возбужденными сторонними электрическими токами с плотностью .

Рассмотрим теперь систему уравнений Максвелла для комплексных векторов с учетом сторонних магнитных (фиктивных) токов, но при отсутствии сторонних электрических токов

. (4.15)

Отметим, что в формулах (4.15) величины и являются комплексными векторами электромагнитного поля, возбужденными сторонними магнитными токами с плотностью .

Если совершить следующую замену

, , , , (4.16)

то система (4.14) перейдет в систему (4.15) и, наоборот.

Свойства систем (4.14) и (4.15) переходить одна в другую с помощью формальной замены (4.16) называется принципом перестановочной двойственности (инвариантности). Этот принцип широко используется при решении различных задач электродинамики. Например, из этого принципа вытекает следующее.

Пусть рассматривается задача о возбуждении электромагнитного поля (в некотором пространстве с определенной геометрией областей, на границе которых заданы граничные условия) с помощью сторонних электрически токов (заданы величины ). Пусть эта задача строго решена, т.е. найдены величины и .

Рассмотрим вторую задачу. Пусть рассматривается задача о возбуждении электромагнитного поля (в пространстве первой задачи) с помощью сторонних фиктивных магнитных токов (заданы величины , структура которых совпадает со структурой величин из первой задачи). Из принципа перестановочной двойственности следует, что для получения решения второй задачи (нахождения величин и ) необходимо использовать решение первой задачи, в котором совершить формальную замену (4.16).