Определенный интеграл. Пусть функция определена на отрезке. Разделим отрезок [a,b] на n произвольных частей точками a=x0 <x1 <x2 <xn-1<xn =b

Пусть функция определена на отрезке . Разделим отрезок [ a,b ] на n произвольных частей точками a=x₀ <x₁ <x₂ ……<x_n-1<x_n =b, выберем на каждом элементарном отрезке [ x_k-1,x_k ] произвольную точку x_k и найдём длину каждого такого отрезка: D x_k=x_k-x_k-1. Тогда интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a,b ] называется сумма вида

Эта сумма имеет конечный предел J, если для любого, сколь угодно малого положительного числа e>0 найдётся такое число d>0, что как только длина наибольшего из элементарных отрезков станет меньше чем d (то есть выполнится неравенство max D x_k <d) неравенство |s-J|<e будет выполняться при любом выборе точек x_k внутри элементарных отрезков[ x_k-1,x_k ].

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [ a,b ] (или в пределах от a до b) называется число J, являющееся пределом интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (max D x_k) стремится к нулю:

	b n J=ò f(x) dx= lim s = lim Sf(xk ) Dxk a max DXk®0 max DXk®0 k=1

Теорема. Если функция f(x) непрерывна (кусочно-непрерывна) на [ a,b ], то предел интегральной суммы при max D x_k ®0 существует и не зависит ни от способа разбиения [ a,b ] на элементарные отрезки, ни от выбора точек x_k.

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Основные свойства определённого интеграла:

_{b а}

1. ò f(x) dx = -ò f(x) dx

^{a b}

_a

2. ò f(x) dx=0

^a

_{b c b}

3. ò f(x) dx= ò f(x) dx + ò f(x) dx

^{a a c}

_{b b b}

4. ò [f₁(x)±f₂(x)]dx= ò f₁(x) dx ± ò f₂(x) dx

^{a a a}

_{b b}

5. ò C f(x) dx=Cò f(x) dx

^{a a}

6. Оценка определённого интеграла: если m£f(x)£M на [ a,b ], то

_b

m(b-a)<ò f(x) dx<M(b-a).

^a