Розв’язання задач. Задача № 1. Повітря політропно розширюється від P1=0,54 МПа і t1=45оС до P2=0,15 МПа

Задача № 1. Повітря політропно розширюється від P ₁=0,54 МПа і t ₁=45^оС до P ₂=0,15 МПа. При цьому його об’єм змінюється від V ₁=3м³ до V ₂=10м³. Визначити показник політропи, кінцеву температуру, роботу, кількість підведеної теплоти, зміну внутрішньої енергії, ентальпії, ентропії.

Дано: P ₁= 0,54 МПа; t = 45^оC; P ₂= 0,15 МПа; V ₁= 3 м³; V ₂= 10 м³

n -?; t ₂ -?; L _n -?; Q_n -?; D U_n -?; D I_n -?; D S_n -?

Розв’язання:

Показник політропи:

Кінцева температура газу

t ₂ = T ₂- 273 = 294,8 – 273 = 21,8^oC.

Питома робота процесу

Маса газу

Повна робота

L = l _n× m = 105,7 × 17,8 = 1881 кДж

Середня масова ізохорна теплоємність

с_vm = mс_v /m = 20,8 / 29 = 0,717 кДж /(кг×К)

Середня масова ізобарна теплоємність

с_pm = 29,1 / 29 = 1,0034 кДж /(кг×К)

Середня масова теплоємність політропного процесу

с_nm = с_v (n – k) / (n – 1) = 0,717 (1,063 – 1,4) / (1,063 – 1) = - 3,835 кДж /(кг×К)

Теплота, підведена до газу

Q = m ×с_nm × (t ₂ - t ₁) = 17,8 × (- 3,835) × (21,8 – 45) = 1584 кДж.

Зміна внутрішньої енергії

U = m × с_vm ×(t ₂ – t ₁) = 17,8 × 0,717× (21,8 – 45)= - 296,1 кДж.

Зміна ентальпія

I = m × с_pm ×(t ₂ – t ₁) = 17,8 × 1,0034×(21,8 - 45) = - 414,4 кДж.

Зміна ентропії

S = m × с_nm × ln (T ₁/ T ₂) = 17,8 ×(- 3,835) ×ln (294,8 / 318) =

= 17,8 ×(- 3,835) × (- 0,076) = 5,2 кДж/К.

Побудова процесу в Р – V і T - S координатах:

Для побудови процесу визначаємо значення тиску і зміну ентропії в проміжних точках, задаємося значеннями V_пр =6 м³ і Т_пр =310 K.

Р_пр = Р ₁(V ₁/ V_пр) ^п = 0,54 ×(3 / 6)^1,063= 0,26 МПа;

S_пр = m × c_пт × ln (T_пр / Т ₁) =17,8 × (-3,835) × ln (310/ 318) = 1,74 кДж/K;

S_пр = S ₁+ S_пр = 1 + 1,74 = 2,74 кДж/K.

Побудову політропи робимо по трьох точках.

Приймаємо, що при Т ₁ = 318 K, S ₁= 1 кДж/K, тоді

S ₂= S ₁+ S = 1+5,2 = 6,2 кДж/K.

3.3. Задачі для самостійного розв’язання

Задача № 1. Газ масою m =N кг із початковим тиском P ₁=N МПа і температурою t ₁=300^оС здійснює термодинамічний процес до тиску P ₂=0,1×N МПа і температури t ₂. Провести повний аналіз процесу, для чого розрахувати: кінцеві параметри газу, роботу, теплоту, зміну внутрішньої енергії, ентальпії, ентропії, скласти схему енергобалансу. При аналізі прийняти, що для ізобарного процесу тиск P = P ₁, а t ₂=(300+20×N)^оC, для ізотермічного процесу t = t ₁. Вид процесу і газу:

Номер варіанту (N)	Умови
1 5	V = const, повітря
6 10	P = const, CO2
11 15	T = const, N2
16 20	q = 0, s = const, He
21 25	політропний, n = 1,3, SO2
26 30	політропний, n = 1,5, CH4

Прийняти теплоємність незалежною від температури.

3.4. Питання для самоперевірки та контролю засвоєння знань

1. Визначення ізохорного, ізобарного, ізотермічного, адіабатного та політропного процесів.

2. Формули для розрахунку роботи в термодинамічних процесах.

3. Формули для розрахунку теплоти в термодинамічних процесах.

4. Зміна внутрішньої енергії та ентальпії в термодинамічних процесах.

5. Зображення процесів в P-v координатах.

6. Зображення процесів в T-s координатах.

7. Співвідношення, що зв’язують кінцеві та початкові параметри термодинамічних процесів.

8. Зміна ентропії в термодинамічних процесах.

4. ТЕРМОДИНАМІЧНІ ПРОЦЕСИ ВОДЯНОЇ ПАРИ

4.1. Основні розрахункові рівняння

1. Підігрів рідини до температури кипіння

q_р = i '- i ₀; якщо i ₀= 0, то q_р = i '= c_{pm р} × t_н

Δ u = i '- p_н (v ' - v ₀) кДж/кг

Δ s = c_{pm р} × ln (T_н /Т _п)

де індекси “ н ”, “ р ” – відповідно насичення і рідина.

2. Процес пароутворення, суха насичена пара (с.н.п)

r = i '' – i ' = T_н × (s '' – s ')

i ''= i ' + r

q = u '' - u ' + р_н (v '' - v ')

s '' = s ' + r / T_н,

де індекси “/”, “//” – відповідно рідина, нагріта до температури кипіння; суха насичена пара.

3. Волога насичена пара (в.н.п)

v_х = xv '' + (1 - x) v '

x = m_с.н.п / m_в.н.п = m_с.н.п /(m_с.н.п + m_р);

при v '<< v ''

x = v_х / v ''; x = (v_х - v ') / (v '' - v '),

і_х = і '+ rх;

s_х = s ' + rх / T_н

де індексом “ х ” позначають параметри вологої насиченої пари.

4. Перегріта пара (п)

q_п = i - i ''

i = i '' + c_рт (t - t_н)

s = s - s '' = c_рт × ln(T/T_н)

5. Побудова процесів водяної пари в i-s діаграмі

Сітку і-s діаграми складають горизонтальні лінії і =const, кДж/кг і вертикальні лінії s =const, кДж/(кг×К) (рис. 4.1). На сітку наноситься нижня (ліва) погранична крива ОК, що виходить з початку координат і верхня (права) погранична крива КМ. Обидві криві сходяться в точці К, що характеризує критичний стан води і називається критичною.

Між пограничними кривими розміщаються лінії проміжних значень ступенів сухості х. Ступінь сухості пари являє собою відношення маси сухої насиченої пари m_с.н.п. до маси вологої насиченої пари m_в.н.п. = m_с.н.п + m_р; m_р – маса рідини (води).

Для води нижня погранична крива ОК, х =0, для сухої насиченої пари, верхня погранична крива КМ, х =1. Пара, температура якої дорівнює температурі насичення та у якій відсутня рідина, називається сухою насиченою. Суміш сухої насиченої пари і води називається вологою насиченою парою. Ліворуч від нижньої пограничної кривої ОК вода знаходиться в рідинному стані. Будь-яка точка на пограничній кривій відповідає стану рідини, нагрітої до температури кипіння. Між пограничними кривими ОК і КМ вода знаходиться в стані вологої насиченої пари. Будь-яка точка на верхній (правій) пограничній кривій відповідає стану сухої насиченої пари. Над кривою КМ вода знаходиться в стані перегрітої пари.

В області вологої насиченої пари ізобари збігаються з ізотермами. Прямі лінії ізобар Р =const виходять віялом з початку координат, причому Р₁ > Р₂ > Р₃ > Р₄.. В області перегрітої пари ізобари та ізотерми розходяться. Ізобари піднімаються до верху у вигляді логарифмічних кривих, а ізотерми t =const відхиляються до горизонталі, причому t₁ > t₂ > t₃ > t₄ ...

На сітку діаграми наносяться ізохори, лінії v =const, це пунктирні лінії, причому v₁ > v₂ > v₃... Вони мають вид кривих, що у порівнянні з ізобарами піднімаються більш круто нагору.

Область діаграми, що лежить нижче ізобари Р =0,611 кПа, відповідає стану суміші пара – лід.

У практичній роботі використовується не вся і-s діаграма, а тільки частина її. На рисунку ця частина діаграми обмежена штрихпунктирною лінією.

В і-s діаграмі у виді ліній наведені шість параметрів водяної пари: Р, v, t, i, s, x.

Рис. 4.1. і-s діаграма водяної пари

Побудова:

Початкова точка процесу 1 визначається в місці перетинання ліній двох початкових параметрів пари. З початкової точки 1 рухаються по характерній лінії процесу до перетинання з лінією кінцевого параметра, і отримують кінцеву точку процесу 2. Всі інші лінії параметрів, що проходять через точку, визначають раніше невідомі параметри. Початкові та кінцевий параметри процесу задаються в умові задачі.

Характерні лінії процесів:

1. Ізобарний - по лінії p = const

2. Ізохорний - по лінії v = const

3. Ізотермічний - по лінії t = const, при цьому слід враховувати, що в області вологої насиченої пари ізотерми та ізобари збігаються

4. Адіабатний - по лінії s = const

5. Дроселювання - по лінії i = const

4.2. Розв’язання задач

Задача № 1. Визначити об’єм колектора, у якому знаходиться волога насичена пара масою m =10×N кг, якщо його параметри p_п =0,1 МПа, ступінь сухості пари x =0,95. Який об’єм займала би пара, якби вона була:

1. Сухою насиченою

2. Перегрітою при t_п =400°C

Розрахувати ентальпію та ентропію вологої насиченої пари.

Яка довжина колектора, якщо внутрішній діаметр d =1м?

Дано: P_п = 0,25 МПа; m = 10 кг; х = 0,95

V_к -?

Розв’язання:

По таблиці властивостей водяної пари по тиску, визначаємо, що значенню Р_п = 0,25 МПа відповідає значення t_н = 127,4°С;

v ' = 0,0010672 м³/кг; v '' = 0,7185 м³/кг; r = 2182 кДж/кг; і ' = 535,4 кДж/кг;

i '' = 2717 кДж/кг, s ' = 1,6071 кДж/(кг×К); s '' = 7,053 кДж/(кг×К);

Питомий об'єм вологої насиченої пари

v_x = v '' × x + (1- x) v ' = 0,7185 ×0,95 + (1- 0,95) × 0,0010672 = 0,682 м³/кг

Об'єм колектора

V_кх = m × v_х = 10 × 0,682 = 6,82 м³.