Биномиальное распределение

Рассмотрим следующую ситуацию. Игральную кость бросают четыре раза, причем в качестве исхода каждого из этих опытов них рассматривают события А – выпало 6 очков, или В – выпало не 6 очков. В каждом из опытов Р(А)=1/6; Р(В)=5/6. В качестве случайной величины х рассмотрим число выпадений 6 за эти 4 опыта; х {0; 1; 2; 3; 4}. Определим, например, Р(х = 2). Этому значению случайной величины соответствуют следующие последовательности событий: ААВВ; АВАВ; АВВА; ВААВ; ВАВА; ВВАА. Вероятность каждого из них равна (1/6)²*(5/6)². Вероятность суммы этих шести равновероятных событий равна 6*(1/6)²*(5/6)² = 25/216 = Р(х = 2).

Почему событий оказалось именно 6? Это число представляет собой число сочетаний из 4 по 2 (шестерка могла выпасть в любых двух опытах из четырех): С²₄ = 4!/(2!*2!) = 6.

Рассмотрим более общую ситуацию. Каждый из n независимых опытов имеет два исхода. Вероятность одного из них равна p, а другого (1- p) (в каждом опыте). Случайная величина х представляет собой число опытов, в которых имел место первый из этих исходов. Тогда ее вероятность можно вычислить по формуле:

Р(х) = C^x_np^x(1 - p)^{n - x} = p^x(1 - p)^{n - x} n!/(x!(n - x)!)

При этом говорят, что величина х имеет биномиальное вероятностное распределение (n N, x = 0,n, 0 < p < 1). Формула, которая выведена выше, представляет собой биномиальный закон распределения дискретной случайной величины.

Например, 5 станков работают независимо друг от друга. Вероятность поломки в течение дня для каждого из них равна 0,2. Найти вероятностное распределение числа станков, сломавшихся в течение дня.

Дискретная случайная величина х – число станков, сломавшихся в течение дня: х {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Имеет место 5 независимых опытов, в каждом из которых возможен один из двух исходов – станок сломался (с вероятностью р = 0,2) или не сломался (с вероятностью 1 - 0,2 = 0,8). Поэтому величина х распределена биномиально, т.е. ее распределение определяется формулой: Р(х) = C^x₅0,2^x0,8^{5 - x} = 0,2^x(0,8)^{5 - x} 5!/(x!(5 - x)!).

Представим его в виде таблицы 3.

Таблица 3

х
Р(х)

.

Определим математическое ожидание и дисперсию биномиального распределения.

Используем свойства математического ожидания. Присвоим результатам проводимых n экспериментов числовые значения – первому исходу (с вероятностью р) - 1, а второму – 0. Это n случайных величин. Математическое ожидание каждой из них равно 1*р + 0*(р – 1) = р. Случайная величина х представляет собой сумму n таких величин, следовательно, их математические ожидания необходимо сложить: М(х) = np.

Проведем аналогичные рассуждения для дисперсии. Отметим при этом, что n случайных величин являются независимыми. Математическое ожидание квадрата каждой из них равно р, а квадрат математического ожидания – р². Отсюда дисперсия каждой из них равна р - р² = р(1 - р). Тогда дисперсия х является суммой этих дисперсий: D(x) = np(1 - p).

Подсчитаем эти величины для примера со станками: М(х) = np =
= 5*0,2 = 1; D(x) = np(1 - p) = 5*0,2*0,8 = 0,8; ; .