Етапи математичного моделювання. Приклади

Для побудови математичної моделі конкретної задачі рекомендується виконати таку послідовність робіт.

1. Вивчення умови задачі (предметної області).

2. Визначення найважливіших факторів (див. підрозділ 1.2).

3. Виділення відомих і невідомих параметрів.

4. Виявлення керованих і некерованих параметрів.

5. Доповнення умови задачі відсутніми відомостями.

6. Введення системи позначень.

7. Побудова математичної моделі задачі (математичний опис найважливіших факторів, співвідношень і зв’язків між параметрами).

У наведених нижче прикладах побудови моделей простежте ці етапи, які ми виконаємо без коментарів (див. з цього приводуПриклад 1.1).

Приклад 1.2. (Розміщення замовлень). Фірма отримала замовлення на кілька тисяч нових виробів, що складаються з окремих блоків. Керівництво фірми прийняло рішення розмістити замовлення на виготовлення n блоків і вибрало n фірм-постачальників. Кожне замовлення таке велике, що фірма-постачальник не може виконати більше одного замовлення. Кожному постачальнику запропоновано визначити вартість виконання замовлення, тобто ціну, за якою він готовий поставити фірмі різні блоки. Фірма повинна укласти n контрактів на постачання їй n видів блоків, мінімізувавши при цьому загальні витрати на придбання комплектуючих вузлів зі сторони.

Позначимо: i – номер (назва) блока, i = 1,.... n; j – номер (назва) фірми-постачальника, j = 1,..., n; с_ij - вартість виконання i -ro блока j -ої фірми (задане число). Крім того, введемо для кожного i і j число.

Цільова функція, що має смисл загальних витрат на купівлю комплектуючих блоків, запишеться так

.

Обмеження задачі (на змінні х_ij) мають такий зміст:

- кожен i -й блок повинен бути виконаний;

- кожен постачальник j повинен виконати один (який-небудь) блок.

Математично ці умови запишуться відповідно як:

x_i1+x_i2 +…+x_in =1,

x_ij+x_2j+…+x_nj =1...

Таким чином, приходимо до такої задачі оптимізації(моделі):

x_ij = 0 або 1 для всіх i, j.

Приклад 1.3. (Вибір портфеля цінних паперів). Фахівцю з фінансового аналізу, що працює в банку (або в страховій компанії), потрібно визначити найкращий набір акцій, облігацій та інших цінних паперів на виділену суму з метою мінімізації ризику, пов’язаного з придбанням набору цінних паперів. Прибуток до кінця планового періоду на кожен долар, вкладений у папери j -го виду, характеризується двома показниками: а_j – фактичний прибуток (випадкове число), a_j – очікуваний прибуток. Потрібно, щоб очікуваний прибуток на долар інвестицій був для всього набору цінних паперів не нижче заданої величини b.

Для визначення моделі приймемо всі фонди, що виділені для придбання цінних паперів, рівними одиниці і позначимо через x_j – частку від усіх фондів, що виділяються для придбання цінних паперів виду j. Ризик враховується за допомогою коваріації (термін з теорії ймовірностей)

s_ij = М (а_i, - a_i) (а_j - a_j)

прибутку для цінних паперів виду i і виду j.

Математична модель запишеться як

за обмежень:

; ;

x_j ³ 0, j = 1,…, n.

Тут n – число різновидів цінних паперів. Цільова функція має сенс дисперсії фактичного прибутку (розсіювання фактичного прибутку від очікуваного), перше обмеження є умова на очікуваний прибуток, а останнє – на перевищення фондів, виділених на покупку цінних паперів.

Приклад 1.4 (Задача про рекламу). Фірма планує проведення радіо-рекламної кампанії щодо збуту автомобілів в одному з регіонів, де розташовано s радіостанцій, протягом двох тижнів. Фірма оцінила попередньо, якщо радіостанції j виділити у_j доларів, то чистий прибуток від збільшення збуту дорівнює R_j (y_j) (R_j – функція реалізації прибутку від обсягу фінансування реклами). На рекламу виділена загальна сума, що дорівнює N доларів. Число оголошень на день не повинно перевищувати M. Якщо фірма виділила j -ій радіостанції у_j доларів, то число рекламних оголошень буде K_j (y_j) (K_j – функція, яка кожній виділеній сумі ставить у відповідність кількість рекламних оголошень на день, і вважається відомою). Як потрібно фінансувати s радіостанцій, щоб отримати сумарний максимальний прибуток від реакції збуту на рекламу?

Очевидно, що математична модель буде мати вигляд:

за обмежень:

y_j ³ 0, j = 1,…, s.

Приклад 1.5. (Задача керування виробництвом). Фірма повинна розробити календарну програму випуску деякого виду виробів на плановий період, що складається з Т відрізків (тижнів, місяців, кварталів, років). Передбачається, що для кожного з цих відрізків є точний прогноз попиту на продукцію, що випускається. Час виготовлення партії виробів настільки малий, що ним можна знехтувати. Для різних відрізків попит неоднаковий, крім того, на економічні показники виробництва впливають обсяги виготовлених партій. Збереження запасів, що виникають при цьому (перевищення випуску над попитом на деяких відрізках), пов’язано з певними витратами. Потрібно розробити таку програму, за якою загальна сума витрат на виробництво і зміст запасів буде мінімальною за умови повного задоволення попиту на продукцію.

Позначимо:

x_t – випуск продукції протягом деякого відрізка t;

y_t – рівень запасів на кінець відрізка t;

D_t – попит на продукцію для відрізка t;

Витрати на відрізку t (позначимо їх через С_t) залежать від випуску x_t і рівня запасів y_t, тобто є функцією від цих невідомих величин: c_t = c_t (x_t, y_t).

Вимога задоволення попиту в межах кожного часового відрізка означає, що рівень запасів на кінець відрізка t (тобто y_t) повинен дорівнювати сумі рівня запасів на початок відрізка t (тобто y_t-1) і випуску продукції на відрізку t (тобто x_t) мінус попит на відрізку t (тобто D_t).

Звідси отримуємо таку модель

за обмежень:

у_t-1 + x_t - y_t = D_t, t =1,2,… T;

y_Т = 0, x_t, y_t ³ 0 для всіх t.

Тут y₀ – заданий рівень запасів на початок планового періоду, а y_Т –рівень запасу на кінець періоду.

Приклад 1.6. (Оптимізація схеми обслуговування). Система обслуговування складається з n типів різних приладів (наприклад, каси в магазинах, телефонні лінії, автозаправні колонки та інші). Кожен прилад у будь-який момент часу обслуговує не більше однієї заявки (наприклад, покупця, телефонної розмови, автомобіля та інші). Відома кількість приладів j -го типу і число заявок i -го типу, що прибули в систему на момент часу t. Відома також ефективність j -го приладу під час обслуговування заявки i -го виду. Потрібно розподілити вільні прилади за заявками таким чином, щоб сумарна ефективність була найбільшою.

Для побудови моделі спочатку введемо позначення вільних величин:

N_j – кількість приладів j -го типу;

d_i^t – число заявок i -го типу на момент часу t;

μ_ij – ефективність j -го приладу під час обслуговування заявки i -го виду. Позначимо шукану величину через x_ij – число приладів j -го виду, відведених для обслуговування заявок i -го типу.

Цих даних досить для складання математичної моделі вигляду

за обмежень:

x_ij – цілі невід’ємні числа для всіх i, j, тут m і n задані числа кількості видів заявок і приладів.

Приклад 1.7. (Вибір оптимального виду посівної культури). Фермер може посіяти одну з трьох культур: A₁, А₂ або А₃. Врожаї цих культур багато в чому залежать від погоди. Потрібно визначити, яку з цих культур сіяти, щоб забезпечити найбільший прибуток, якщо відома ціна а_i одного центне­ра культури A_i, i = 1, 2, 3 і середня врожайність кожної культури в залежності від погоди (літо буде посушливим, нормальним або дощовим). Достовірний прогноз погоди відсутній.

Позначимо через h_ij – врожайність i -ої культури за погодних умов j (тут j =1 – літо посушливе, j =2 – нормальне літо, j =3 – дощове літо). Числа h_ij, як і числа a_i задані (відомі). Реально може мати місце тільки одна із ситуацій (i, j), i = l, 2, 3; j = l, 2, 3. Причому (i, j) означає, що посіяно культуру A_j, а погода знаходиться у стані j. Усього таких ситуацій дев’ять. Очевидно, що ОПР (фермер) може вибрати тільки вид культури, стан погоди від нього не залежить. Якщо фермер засіяв культуру A₁, то він може отримати (залежно від стану погоди) один з таких прибутків: a₁h₁₁, a₁h₁₂, a₁h₁₃, щодо культури A₂: a₂h₂₁, a₂h₂₂, a₂h₂₃, і для культури А₃: a₃h₃₁, a₃h₃₂, a₃h₃ . Запишемо всі ці результати в одну таблицю (матрицю):

.

Ця матриця і є математичною моделлю вихідної задачі. У ній дія фермера зводиться до вибору одного з рядків матриці (однієї з трьох стратегій). Його прибуток залежить від «вибору» природою одного зі своїх станів (одного із трьох стовпців матриці). Наприклад, якщо фермер посіяв культуру A₂, а літо вийшло дощовим, то прибуток фермера дорівнює a₂h₂₃.

Приклад 1.8. (Вибір асортименту товарів). На базі торгової організації є n типів одного з товарів асортиментного мінімуму. У магазин повинен бути завезений тільки один з типів даного товару. Потрібно вибрати той тип товару, який доцільно завезти в магазин. Якщо товар типу j буде користуватися попитом, то магазин від його реалізації дістане прибуток p_j, якщо ж він не буде користуватися попитом – то збиток q_j. Скласти математичну модель цієї задачі в умовах невизначеного попиту. Керуючись формалізацією задачі прикладу 1.7, обґрунтуйте, що шукана модель має вигляд:

.

Поясніть задачу магазина на цій моделі.

Приклад 1.9. (Планування оптимального терміну закінчення проектних робіт). Компанія повинна реалізувати проект будівництва об’єкта, що складається з n операцій (робіт). Керівники комплексу оцінили тривалість виконання кожної операції та установили послідовність операцій, тобто точно визначили, які операції обов’язково повинні бути закінчені, щоб могла початися кожна з операцій, що входять у комплекс. Керівництву компанії треба з’ясувати, яка найменша можлива тривалість реалізації всього проекту, тобто найбільш ранній із усіх можливих термінів його завершення. Під час побудови математичної моделі припустимо, що проект складається з п’яти операцій А, В, С, Д, Е. За умовою відома послідовність операцій і їх тривалість. Нехай:

Операції	Безпосередньо попередні операції	Тривалість операцій
А	-	t
В	-	t
С	А	t
D	А	t
Е	B,D	tE
F	С,Е	-

Фіктивна операція F, що починається в момент завершення проекту, вводиться для зручності (див. нижче). Другий стовпчик таблиці означає, що операцію С не можна почати, перш ніж не закінчена операція А і т.д.

Приймемо, що змінними є терміни початку операції (введемо лише ті з них, що потрібні для розв’язання задачі):

y_CD – момент початку операцій С і D;

y_Е – момент початку операції Е;

y_F – момент початку операції F.

Тут, y_F – момент завершення всього комплексу. Моменти y_А і y_В – моменти 0 початку операцій, оскільки операції А і В не мають попередніх. При цьому математична модель має вигляд:

min y_F

за обмежень:

y_CD ≥ t_A; y_E ≥ t_B; y_E ≥ t_D + y_CD; y_F ≥ t_C + y_CD; y_F ≥ t_E + y_E .