Математичне моделювання. Загальна структура

Під час визначення елементів математичної моделі будемо виходити з того, що в ДО і МП вивчаються задачі прийняття рішень і, як окремий випадок, задачі оптимізації.

Однією з основних вимог до побудови математичних моделей є облік основних факторів проблеми. Для виявлення основних елементів моделей задач, прийняття рішення потрібно відповісти на такі питання:

- хто приймає рішення?

- які цілі прийняття рішення для кожного ОПР?

- у чому полягає прийняття рішення?

- які можливості ОПР (з точки зору прийняття рішень)?

- за яких умов відбувається прийняття рішення?

Формалізуючи (описуючи математично) відповіді на ці питання ми отримаємо необхідну модель задачі.

Приклад 1.1. (Планування добового випуску продукції). Процес виготовлення виробів двох видів полягає в послідовному обробленні кожного з них на трьох верстатах. Відомі: час експлуатації кожного верстата за добу, оброблення одиниці кожного виробу на кожному верстаті, вартість реалізації одиниці кожного виробу.

Потрібно скласти для фірми план добового випуску виробів таким чином, щоб дохід від їх продажу був максимальним.

Під час аналізу згаданих найважливіших факторів будемо виходити тільки з умови задачі:

- ОПР – орган планування (фірма);

- мета – максимізація прибутку від продажу випущених за добу виробів двох видів;

- прийняття рішення для ОПР полягає у визначенні добових обсягів випуску кожного з двох видів виробів;

- можливості ОПР обмежені часовими ресурсами експлуатації верстатів трьох видів;

- про інші обмеження або умови у задачі нічого не говориться.

Після виявлення найважливіших факторів слід аналізувати всі параметри задачі: значення яких параметрів відомі (задані); які параметри є невідомими (шуканими) величинами; якими з параметрів ми можемо керувати (керовані змінні), а якими ні (некеровані параметри).

У наведеному прикладі відомими є такі параметри:

- добова норма b₁ експлуатації верстата 1;

- добова норма b₂ експлуатації верстата 2;

- добова норма b₃ експлуатації верстата 3;

- час a_ij оброблення одиниці виробу виду i на верстаті типу j;

- вартість с₁ (продажу) одиниці виробу виду 1;

- вартість c₂ (продажу) одиниці виробу виду 2;

Усі ці параметри є некерованими, оскільки вони задані (їх значення можна знайти в довідниках або нормативах, визначити з набутого досвіду). Шуканими є такі величини:

- обсяг добового випуску виробу виду 1;

- обсяг добового випуску виробу виду 2.

Ці два параметри можна вважати керованими, оскільки фірма сама визначає їх величину (виходячи з реальних умов).

Далі для складання математичної моделі задачі потрібно ввести систему позначень невідомих параметрів задачі. Для нашого прикладу зробимо такі позначення:

x₁ – обсяг добового випуску одиниць виробу виду 1;

x₂ – обсяг добового випуску одиниць виробу виду 2.

Тоді прибуток від продажу x₁ і x₂ буде визначатися як c₁ x₁ + c₂ x₂,

а час, необхідний для оброблення x₁, x₂ одиниць виробів на верстаті j - як

a_ij x₁ + a_2j x₁, (j = l,2,3).

Тепер поставлену задачу можна сформулювати математично:

c₁ x₁ + c₂ x₂ ® max,

a₁₁ x₁ + a₂₁ x₂ £ b₁,

a₁₂ x₁ + a₂₂ x₂ £ b₁,

a₁₃ x₁ + a₂₃ x₂ £ b₁,

x₁ ³ 0, x₂ ³ 0.

Умова невід’ємності змінних випливає із смислу величин x₁ і x₂ - це доповнення моделі відсутньою інформацією.

Наведений запис і є задачею математичного програмування з цільовою функцією c₁ x₁ + c₂ x₂ і множиною допустимих рішень X, що описується п’ятьма нерівностями (на площині це багатокутник, утворений перерізом п’яти півплощин).

Наведена модель описує конкретну задачу прийняття рішення. Для з’ясування загальної структури таких задач введемо загальні позначення.

Позначимо через N = {1,2,...,n} множину сторін, що беруть участь у даній конкретній задачі, де кожен елемент i множина N називаються особами, що приймають рішення (ОПР), наприклад, окрема особистість, фірма, плановий орган великого концерну, уряду та інші. Кожен елемент i Î N характеризується своїми можливостями. Позначимо через Х_i множину усіх його допустимих рішень (стратегій, альтернатив). Припустимо, що такі множини математично описані: X₁, X₂,..., X_n.

Після цього процес прийняття рішення всіма ОПР зводиться до такого формальному акту: кожна з ОПР вибирає конкретний елемент x₁ Î X₁, x₂ Î X₂,…, x_n Î X_n зі своєї припустимої множини рішень. У результаті отримується набір х = (x₁,..., x_n) обраних рішень, що називається ситуацією.

Формалізація цілей прийняття рішення здійснюється за такою схемою. Тим або іншим способом будуються аналітичні закони (функції) f₁,...., f_n, що ставлять у відповідність кожній ситуації x набір з n чисел f₁ (x), f₂ (x),..., f_n (x).

Функція f_i (x) = f_i (x₁,..., x_n) називається критерієм якості i -ої ОПР. Число f_i (x) є кількісною оцінкою ситуації x для i -oї ОПР з точки зору переслідуваної нею мети. Тому в моделі мета i -oї особи формалізується таким чином: вибрати таке рішення x_i Î X_i, щоб досягти найбільшого (найменшого) значення функції f_i. Однак досягнення цієї мети цілком від неї не залежить з огляду наявності інших сторін, що впливають на загальну ситуацію x з метою досягнення своїх власних цілей. Цей факт конфлікту інтересів пояснюється тим, що функція f_i крім x_i залежить і від інших змінних x_j (i ¹ j). Тому в моделях прийняття рішення з багатьма учасниками застосовуються складніші принципи оптимальної поведінки, ніж пряма максимізація або мінімізація критерію якості.

Нарешті, нехай деяким чином (математично) описані усі ті умови, за яких відбувається прийняття рішень. Сукупність усіх цих умов (рівнянь зв’язку) позначимо одним символом Σ. Математично система Σ містить опис зв’язків між керованими і некерованими змінними, опис впливу випадкових факторів, облік динамічних характеристик та інші.

Таким чином, загальна структура задачі прийняття рішень з багатьма учасниками виглядає так:

< N; X₁...., Xn; f₁.... f_n; Σ >. (1.1)

Мета математичного моделювання – для поставленої фахівцями конкретної задачі – отримати конкретний опис елементів структури (1.1). Слід відзначити, що математичне моделювання – це дуже складна задача, потребує від розробників значних трудозатрат, навичок, знань і може бути виконана лише за наявності необхідного обсягу попередньої змістовної інформації.

Підсумовуючи, можна сказати, що основними елементами математичної моделі будь-якої задачі прийняття рішень є.

1. Множина ОПР (N).

2. Критерії якості (f₁,..., fn).

3. Множина допустимих рішень (X₁,..., X_n).

4. Обмеження на параметри задачі, передумови, рівняння зв’язку (Σ).

Конкретизуючи ці елементи, їх характеристики і властивості, ми отримуємо той або інший конкретний клас задач (клас моделей) прийняття рішення. Так, якщо N складається тільки з одного елемента (n = 1), а всі умови і передумови вихідної реальної задачі можна описати у вигляді множини допустимих рішень цієї єдиної ОПР, то з (1.1) отримаємо структуру задач оптимізації (екстремальних задач)

< Х, f >. (1.2)

У схемі (1.2) ОПР може розглядатися як орган планування, множина допустимих рішень Х задається за допомогою обмежень на можливості ОПР, а критерій якості f називається цільовою функцією. При цьому задача оптимізації ставиться таким чином:

max f (x), (f (x)→ max), (1.3)

^{x Î X x Î X}

min f (x), (f (x)→ min). (1.4)

^{xÎ X x Î X}

Це різна форма запису однієї і тієї ж задачі. Їх оптимальними розв’яз­ками називаються пари x*, f (x*).