Зміст навчання і кількість годин на певних рівнях математичної підготовки

Алгебра і початки аналізу	рівень стандарту (108 год)	академічний рівень (175 год)	профільний рівень (350 год)
10 клас Вступ
Функції, їхні властивості та графіки (рівняння і нерівності; многочлени)
Степенева функція
Тригонометричні функції
Тригонометричні рівняння і нерівності
Резервний час і повторення (систематизація та узагальнення)
11 клас Похідна та її застосування (границя та неперервність функції)
Показникова та логарифмічна функції
Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики
Інтеграл та його застосування
Рівняння, нерівності та їх системи. Узагальнення та систематизація
Повторення курсу алгебри і початків аналізу
Резервний час
Геометрія	рівень стандарту (102 год)	академічний рівень (140 год)	профільний рівень (280 год)
10 клас
Вступ
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
Вступ до стереометрії
Паралельність прямих і площин у просторі
Перпендикулярність прямих і площин у просторі
Систематизація та узагальнення, резервний час
Резервний час і повторення
11 клас
Координати і вектори (геометричні перетворення) у просторі
Геометричні тіла. Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл
Многогранники
Тіла обертання
Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл
Повторення, узагальнення та систематизація навчального матеріалу, розв’язування задач
Резервний час

Таблиця 2.2.

Порівняльна таблиця змісту навчання на різних рівнях підготовки

Алгебра і початки аналізу рівень стандарту (всього 108 год)	Алгебра і початки аналізу академічний рівень (всього 175 год)	Алгебра і початки аналізу профільний рівень (всього 350 год)
10 клас	10 клас	10 клас
Вступ 1
Функції, їхні властивості та графіки 22	Функції, рівняння і нерівності 12	Функції, многочлени, рівняння і нерівності 60
	Степенева функція 14	Степенева функція 30
Тригонометричні функції 26	Тригонометричні функції 20	Тригонометричні функції 30
	Тригонометричні рівняння і нерівності 16	Тригонометричні рівняння і нерівності 35
Резервний час і повторення 5	Систематизація та узагальнення, резервний час 8	Систематизація та узагальнення, резервний час 20
11 клас	11 клас	11 клас
Похідна та її застосування 14	Похідна та її застосування 26	Границя та неперервність функції. Похід- на та її застосування 50
Показникова та логарифмічна функції 12	Показникова та логарифмічна функції 22	Показникова та логарифмічна функції 25
Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики 10	Елементи комбінаторики, теорії ймо- вірностей і математичної статистики 12	Елементи комбінаторики, теорії ймовір- ностей і математичної статистики 15
Інтеграл та його застосування 10	Інтеграл та його застосування 20	Інтеграл та його застосування 25
		Рівняння, нерівності та їх системи. Уза- гальнення та систематизація 20
	Повторення курсу алгебри і початків аналізу 19	Повторення курсу алгебри і початків аналізу 35
Резервний час і повторення 8	Резервний час 6	Резервний час 5

Геометрія рівень стандарту (всього 102 год)	Геометрія академічний рівень (всього 140 год)	Геометрія профільний рівень (всього 280 год)
10 клас	10 клас	10 клас
Вступ 1	Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії 8	Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії 28
	Вступ до стереометрії 6	Вступ до стереометрії 12
Паралельність прямих і площин у просторі 22	Паралельність прямих і площин у просторі 22	Паралельність прямих і площин у просторі 40
Перпендикулярність прямих і площин у просторі 22	Перпендикулярність прямих і площин у просторі 26	Перпендикулярність прямих і площин у просторі 40
Резервний час і повторення 6	Систематизація та узагальнення, резервний час 8	Систематизація та узагальнення навчального матеріалу, резервний час 20
11 клас	11 клас	11 клас
Координати і вектори 10	Координати, геометричні перетворення та вектори у просторі 16	Координати, геометричні перетворення та вектори у просторі 32
Геометричні тіла. Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл 37	Многогранники 16	Многогранники 28
	Тіла обертання 14	Тіла обертання 20
	Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл 14	Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл 36
	Повторення, узагальнення та систематизація навчального матеріалу, розв’язування задач 8	Повторення, узагальнення та систематизація навчального матеріалу, розв’язування задач 20
Резервний час і повторення 4	Резервний час 2	Резервний час 4

Вивчення інтегрованого курсу «Математика» за програмою «Математика. 10-11 класи (для класів гуманітарного напряму)» (автори М. І. Бурда, Ю. І. Мальований) у класах філологічного, суспільно-гуманітарного, технологічного, спортивного, художньо-естетичного профілів.

У класах філологічного, суспільно-гуманітарного, технологічного, спортивного, художньо-естетичного профілів вивчається інтегрований курс «Математика» за програмою «Математика. 10-11 класи (для класів гуманітарного напряму)» (автори М. І. Бурда, Ю. І. Мальований) [4].

Розглянемо деякі методичні зауваження щодо процесу викладання математики у 10-11 класах загальнокультурного напрямку.

1. Однією з головних цілей вивчення теми «Функції, їх властивості та графіки» є розвиток графічної культури учнів. Мова йде, передусім, про читання графіків, тобто про встановлення властивостей функцій за їх графіками. Вміння читати графіки часто потрібне у практичних задачах. Наприклад, потрібно за графіком змінної величини вміти визначити моменти часу, в які ця величина набуває задане або найбільше, найменше значення, порівнювати з іншою величиною, передбачати поведінку величини «у майбутньому», тощо.

2. Всі основні поняття диференціального числення доцільно вводити, як узагальнення результатів розв’язання деяких прикладних задач. Це одразу виділяє головний прикладний зміст поняття, робить його більш природним та доступним для сприймання. Більше уваги слід приділити змістовній стороні ідей і понять, їх геометричній та фізичній трактовці. В основі системи вправ на формування навичок диференціювання повинні лежати функції, що описують реальні залежності величин. Розглядаючи застосування похідної, слід передусім приділити увагу розв’язанню прикладних задач, зокрема на найбільше та найменше значення.

3. В темі «Степенева, показникова та логарифмічна функції» акцент треба зробити на елементи моделювання реальних процесів за допомогою функцій, їх графіків та властивостей. В уявленні учнів характер реального процесу повинен асоціюватись із відповідною функцією, її графіком, властивостями. Наприклад, зміна маси радіоактивної речовини в уявленні учнів повинна асоціюватись із функцією . Особливої уваги заслуговує показникова функція. Вона знаходить широке застосування при моделюванні процесів і явищ навколишнього світу. Логарифми як традиційний ефективний обчислювальний засіб свою роль втратили в зв’язку з широким впроваджуванням обчислювальної техніки. Однак вони необхідні при вивченні та застосуванні показникової функції, оскільки вони визначають функцію обернену до показникової. Тому логарифми дозволять виконувати розрахунки в прикладних задачах. Наприклад, при знаходженні моменту часу, в який маса радіоактивної речовини, що змінюється за законом , зменшиться у порівнянні з початковою в два рази. Крім цього, логарифмічна функція знаходить застосування для опису реального світу. Наприклад, словниковий склад мови змінюється з часом за логарифмічним законом. Ще яскравіше застосування логарифмічної функції пов’язане з математичним моделюванням музичної шкали.

4. У практичній діяльності людини дослідження багатьох явищ неможливе без вивчення та кількісного оцінювання впливу випадкового. В зв’язку з цим математична підготовка учня повинна включати формування ймовірно-статистичного мислення, навичок побудови найпростіших математичних моделей, що враховують вплив випадку. Статистичний характер навколишніх явищ не може бути розкритий без розуміння міри мінливості, тому виникає необхідність у кількісному оцінюванні розкиду статистичних даних.

5. У процесі вивчення теми «Об’єми та площі поверхонь геометричних фігур» повинні бути розглянуті різні задачі прикладного змісту на знаходження найбільшого або найменшого значення величини.

6. Перед початком вивчення теми «Інтеграл та його застосування» актуалізувати відповідні опорні знання: повторити поняття похідної, фізичний, геометричний зміст. Вивчення інтегрального числення зазвичай починається з розгляду сукупності первісних даної функції, які доцільно трактувати як розв’язок диференціального рівняння у′ = f(x). Бажано поряд з цим рівнянням розглянути диференціальне рівняння y′ = ky, яке широко використовується при опису багатьох процесів. При будь-якому способі викладення матеріалу доцільно якомога раніше вводити формулу Ньютона – Лейбніца. Це дозволить:

- обчислювати визначені інтеграли з початку вивчення теми;

- доводити основні властивості інтеграла, не спираючись на інтегральні суми, що зекономить час та зусилля;

- урізноманітнити вправи на застосування визначеного інтеграла.

7. Тема «Геометричні тіла і поверхні» надає великі можливості для розвитку у учнів геометричної інтуїції, просторових уявлень, формування навиків геометричного моделювання. Особливої уваги заслуговують завдання на побудову перерізів тіл.

Відповідно до програми з математики рівня стандарту в навчанні алгебри і початків аналі­зу основною змістовою лінією є функціональ­на лінія. Тому навчання розпочато з розгляду теми «Функції, їхні властивості і графіки» — його фундаменту. У цій темі здійснено повторення, систематизацію матеріалу щодо функцій, який вивчали в основній школі, його поглиблення й розширення, зокрема за рахунок степеневих функцій. Головною її метою є підготовка учнів до вивчення нових класів функцій (степеневих, тригонометричних, показникових, логарифміч­них), а також мотивація необхідності розши­рення апарату дослідження функцій за допо­могою похідної та інтеграла. Оскільки робота з діаграмами, рисунками, графіками є одним із поширених видів практичної діяльності сучас­ної людини, до головних завдань вивчення теми належить і розвиток графічної культури учнів. Йдеться, передусім, про читання графі­ків, тобто про встановлення властивостей функ­цій за їх графіками. Якщо графік характери­зує зміну деякої величини, то його аналіз дає змогу дослідити властивості цієї величини.

Під час вивчення цієї теми формуємо вмін­ня учнів «читати» і будувати графіки функ­цій, зокрема степеневих, навички досліджувати функції елементарними методами, застосовувати функції до моделювання реальних процесів.

У розділі підручника [3] «Функції, їхні властивості і графіки» здійснено повторен­ня і систематизацію знань учнів про класи чисел, їх подання, продовжено формування обчислювальних умінь, зокрема наближених, відсоткових. Адже формування в учнів міц­них обчислювальних навичок є однією з кін­цевих цілей навчання математики в середній школі. Тому в підручнику певну увагу приді­лено наближеним обчисленням, наприклад, під час розв’язування прикладних задач. Вивчення наближених обчислень програмою з математи­ки майже не передбачено. Водночас у цьому розділі автори вважали за потрібне сформувати безумовно необхідне з практичних міркувань поняття точності наближення. Його використо­вуватимуть також під час вивчення показнико­вої функції, похідної та її застосувань.

Незважаючи на те, що в цьому розділі багато понять і класів функцій відомі учням з основної школи, потрібно систематизувати і поглибити їхні знання і розвинути вміння, пов’язані з цими поняттями. Це забезпечено в підручнику на тео­ретичному і практичному рівнях посиленою ува­гою до побудови графіків, читання графіків.

Труднощі побудови графіка функції, яку задано формулою, полягають у тому, що графік функції yfx=(), за означенням, — це сукуп­ність точок із координатами xfx;,()() xDf∈(). У підручнику звернено увагу на те, що абсо­лютно точно побудувати графік функції немож­ливо, оскільки неможливо точно зобразити на координатній площині навіть одну точку xfx00;()(), а тим більше безліч. Тому під побу­довою графіка функції розуміють побудову рисунка (найчастіше лінії), що відображає головні особливості ідеального графіка. Такі рисунки називають ескізами графіків. Отже, побудувати графік функції означає побудувати ескіз графіка, тобто відобразити графічно всі основні властивості функції.

Поняття неперервності функції формують на підставі наочно-інтуїтивних уявлень. Його пов’язують із математичним описом реальних процесів (неперервних і розривних). Поняття неперервності широко використовують під час побудови графіків функцій. Саме обґрунтування таких побудов і є головною метою розглядання поняття неперервності на цьому етапі навчання. І цей підхід реалізовано в підручнику.

У цьому розділі розглянуто поняття кореня n-го степеня і його властивості. Це необхідно для введення степеня з дробовим показником і дослідження властивостей степеневих функ­цій із раціональним показником.

Розглядання всіх класів функцій супро­воджено їх застосуваннями до моделювання реальних процесів і явищ.

Темою « П аралельність прямих і площин у про­сторі» розпочато вивчення систематичного курсу стереометрії. Тому основне її призначення — закладення основ для конструювання геометрич­них тіл, дослідження їхніх властивостей і вимірю­вання геометричних величин, пов’язаних із ними. Для цього введено основні поняття стереометрії (точки, прямі та площини), а також відношен­ня між ними (належність, паралельність та ін.). Проведено класифікацію взаємного розміщення прямих і площин у просторі, наведено відповідні ознаки взаємного розміщення.

Мета вивчення цієї теми — поглиблення знань учнів про аксіоматичну побудову матема­тичної теорії, розвиток їх просторових уявлень. Уже з перших кроків вивчення стереометрії на перший план виступає ідея математичного моделювання реальних об’єктів і відношень між ними за допомогою найпростіших геометричних фігур і відповідних математичних відношень.

До найважливіших завдань вивчення теми належить розглядання одного з основних мето­дів зображення просторових фігур на площині — методу паралельного проектування і формування найпростіших навичок його застосування.

Формування просторових уявлень учнів є голо­вним завданням цієї теми. Учні мають навчитися, насамперед, «бачити» розміщення прямих і пло­щин, а вже потім уміти його обґрунтовувати, спи­раючись на означення, ознаки і властивості.

Розгляд теми « П аралельність прямих і площин у просторі» в підручнику [3] розпочато з подання навчального матеріалу для повторення і систе­матизації планіметричних знань і вмінь учнів.

Особливу увагу приділено реалізації при­кладної спрямованості теми. Головним внеском у розв’язання зазначеної проблеми є широкезастосування математичного моделювання об’єктів навколишнього світу за допомогою геометричних об’єктів (прямих, площин) і відношень між ними. Розгляд майже на початку розділу навчального матеріалу про зображення фігур на основі паралельного проектування дозволяє як забезпечити реалізацію прикладної спрямова­ності курсу стереометрії, так і сприяти розвитку просторового мислення учнів шляхом побудови зображень, виконання побудов на зображеннях.

Розвитку просторового мислення в підручни­ку також приділено особливу увагу. Для цього використано весь арсенал засобів формування просторового мислення. Про це свідчить кількість і якість рисунків, наявність значної кількості завдань на рисунках, задач на побудову тощо.

У підручнику посилену увагу приділено типовим геометричним конструкціям, їх моде­лям і зображенням. Частина з них (каркасні моделі) моделює найважливіші види фігур, які вивчають у стереометрії — піраміди й призми.

Широке застосування в підручнику найпро­стіших геометричних тіл (куб, паралелепіпед, тетраедр тощо) на початку вивчення теми дозво­ляє природно ілюструвати введені поняття і твер­дження. Крім того, це суттєво розширює клас вправ на зображення і побудову на зображеннях, зокрема побудову перерізів. Конструктивні озна­чення вказаних геометричних тіл, пов’язаних із наведеними конструкціями, готують учнів до роз­глядання загальних класів призм, пірамід.

У темі «Тригонометричні функції» вміння досліджувати функції, які сформовані в першій темі, закріплюємо і застосовуємо до моделювання закономірностей коливального руху. Введення тригонометричних функцій має відповідати одному з головних їх призначень у застосуваннях математики — моделюван­ню рівномірного обертального руху. Саме із цим походженням тригонометричних функцій пов’язана одна з головних їх особливостей — періодичність. В уявленні учнів характер фізичного процесу має асоціюватись із відпо­відною функцією, її графіком, властивостями. У цій темі узагальнено поняття тригономе­тричних функцій кутів трикутника на довіль­ні числові значення аргумента, розширено запас відомих функцій. Учні будують графіки тригонометричних функцій, досліджують їхні властивості. Тригонометричні функції застосо­вують до опису періодичних процесів, зокрема обертального руху, гармонічних коливань. Це й становить головну мету вивчення теми. Що стосується формування в учнів умінь викону­вати тотожні перетворення тригонометричних виразів, розв’язувати тригонометричні рівнян­ня, то ці завдання є традиційними для цієї теми, але не головними: вони відіграють допо­міжну роль у навчанні учнів застосовувати три­гонометричні функції в суміжних дисциплінах, розв’язувати прикладні задачі.

Розглядання теми «Тригонометричні функції» в підручнику [3] розпочато з повторення мате­ріалу, який учні вивчали в основній школі, зокрема із застосування тригонометричних функцій кута до розв’язування трикутників. У курсі геометрії дев’ятирічної школи було визначено синус, косинус і тангенс кута a при 0180≤≤α. Для узагальнення цих понять в підручнику розглянуто поняття кута обертан­ня, що дозволяє поширити відомі учням озна­чення тригонометричних функцій на довільне дійсне число.

У підручнику приділено певну увагу форму­ванню вмінь установлювати відповідність між дійсними числами і точками тригонометрично­го кола. Це має створити міцний фундамент для засвоєння подальшого матеріалу.

Під час розглядання тригонометричних функцій, як і інших класів функцій, посиле­ну увагу приділено читанню графіків функцій; побудові графіків функцій за допомогою най­простіших геометричних перетворень; знахо­дженню значень тригонометричних функцій при заданих значеннях аргумента і значень аргумента, при яких тригонометрична функція набуває заданого значення, у тому числі й за допомогою обчислювальних засобів.

Перетворення тригонометричних виразів розглянуто в об’ємі, достатньому для підтрим­ки вмінь перетворювати нескладні вирази і для розв’язування нескладних тригонометричних рівнянь.

В підручнику під час розв’язування най­простіших тригонометричних рівнянь звернено увагу на знаходження тих розв’язків рівнянь, які належать заданому проміжку або задо­вольняють деякі інші умови. Поняття оберне­ної функції та обернених тригонометричних функцій підручник не містить. Ці поняття розглядають в обсязі, необхідному для запису розв’язків тригонометричних рівнянь.

Відповідно до програми в підручнику зна­чну увагу приділено реалізації прикладної спрямованості навчального матеріалу. Зокрема, з цією метою в підручнику розглянуто засто­сування тригонометричних функцій до опису обертального руху та гармонічних коливань. Система задач містить задачі на застосування найпростіших тригонометричних рівнянь до розв’язування геометричних задач.

Тема « П ерпендикулярність прямих і площин у просторі» разом із темою «Паралельність пря­мих і площин» становить фундамент для подаль­шого вивчення стереометрії. У них приділено увагу «кількісним» характеристикам взаємного розміщення прямих і площин — вимірюванню відстаней, кутів. Базовими для цих вимірю­вань є поняття перпендикулярності лінійних об’єктів (прямих і площин). Тому формування понять перпендикулярності прямих, прямої і площини, площин на основі моделювання ними просторових відношень реальних об’єктів є одним із найважливіших завдань вивчення теми. Застосування цих понять для вимірю­вання відстаней (від точки до площини, від прямої до площини, між площинами), кутів (між прямими, прямою і площиною, площи­нами) є головною метою. Ця тема має яскраво

виражену прикладну спрямованість. Образно її деколи називають будівельною геометрією.

У підручниках [3, 4] головну мету теми реа­лізовано саме з широким застосуванням мате­матичного моделювання в усіх структурних елементах змісту. Усі головні поняття введено на основі моделювання просторових відношень, кількісних характеристик об’єктів. Математичне моделювання широко використовують і в обґрунтуваннях тверджень, підготовці до їх формулювання. Застосування теоретичного матеріа­лу також пов’язане з розв’язуванням приклад­них задач. Усі види дидактичних матеріалів містять прикладні завдання.

Під час вивчення теми поглиблюють і роз­ширюють знання учнів про методи зображен­ня просторових фігур, зокрема розглядають метод ортогонального проектування. Одним із найважливіших завдань теми є продовження формування вмінь виконувати побудови на зображеннях (побудова перпендикуляра до пло­щини, площини, перпендикулярної до прямої, перерізів тощо). Саме ці побудови є основою для дослідження властивостей геометричних тіл, вимірювання відстаней і кутів.

Для ілюстрації понять і теорем, що вивча­ють, співвідношень між основними геометрич­ними фігурами в підручнику широко вико­ристано як найпростіші геометричні фігури (куб, тетраедр, прямокутний паралелепіпед), так і деякі геометричні конструкції (трикут­ник і перпендикуляр до його площини в одній із вершин, квадрат і трикутник, що мають спільну сторону і лежать у різних площинах, тощо). Останні ілюструють основні види роз­міщень фрагментів більш складних фігур, що виникають у подальшому вивченні геометрії. Конструктивні означення зазначених фігур сприяють засвоєнню відповідних понять, роз­виненню просторового мислення.

Відповідно до програми з математики рівня стандарту розпочинається підручник розділом « П оказникова і логарифмічна функції». У цій темі вміння досліджувати функції, які сформовані в темі «Функції, їх властивості і графіки» курсу 10-го класу, закріплюються і застосовуються до моделювання закономірностей процесів зрос­тання та вирівнювання. Адже в уявленні учнів особливості фізичного процесу повинні асоцію­ватись із відповідною функцією, її графіком, властивостями.

Властивості та графіки показникових і лога­рифмічних функцій вивчаються за допомогою методів, які використовувались у курсі матема­тики 10-го класу.

На особливу увагу заслуговує показникова функція. Вона широко застосовується для моде­лювання процесів і явищ навколишнього світу. У природничих науках і техніці зустрічаються процеси, зростання або «згасання» яких від­бувається швидше, ніж у будь-якої степеневої функції. Такі процеси описують показниковими функціями.

Логарифми як традиційний ефективний обчис­лювальний засіб втратили свою роль у зв’язку з широким упровадженням обчислювальної техніки. Однак вони необхідні для досліджен­ня показникової функції і визначають ще одну (окрім добування кореня) операцію, обернену піднесенню до степеня. Оскільки логарифми визначають функцію, обернену до показнико­вої, то вони дають змогу виконувати розрахун­ки в прикладних задачах. Функції, що вводять за допомогою цієї операції, тобто логарифмічні функції, також широко застосовують для опису реальних процесів.

Уведенню показникової функції передує озна­чення поняття степеня з довільним дійсним показником. Без розгляду цього питання озна­чення показникової функції не є коректним: адже раніше було введено лише степінь із раціональним показником. Водночас неможли­во строго формально ввести степінь із ірраціо­нальним показником. Тому достатньо, щоб учні усвідомили необхідність розгляду цього поняття і дістали уявлення про нього.

Вивчення теми « В ектори і координати» в 11-му класі дозволяє природно повторити навчальний матеріал зі стереометрії 10-го класу і застосува­ти новий підхід до вивчення прямих і площин у просторі. Окремим завданням навчання теми «Вектори і координати» є узагальнення вектор­ного і координатного методів на випадок про­стору.

Вивчення теми розпочинається з перенесення основних понять про вектори на площині і дій над ними на випадок простору. Розгляд розкла­дання векторів на складові забезпечує як при­кладну спрямованість навчання, так і природ­ний підхід до введення координат векторів.

Систематичне застосування аналогії між об’єктами і відношеннями на площині і у про­сторі є одним із головних дидактичних при­йомів викладення цієї теми. Це стосується і введення координат у просторі, і вимірювань у координатному просторі, і розгляду рівнянь фігур у просторі.

Розгляд елементарних методів дослідження функцій приводить до необхідності розширен­ня математичного апарату, який потрібний для більш повного вивчення властивостей функцій, побудови їх графіків, для дослідження руху. Це реалізується в темах «Похідна та її застосуван­ня» і забезпечує подальший розвиток функці­ональної змістової лінії, прикладну спрямова­ність навчання.

Вивчення теми розпочинається із розв’язання задачі про знаходження середньої та миттєвої швидкостей нерівномірного руху. Ця задача приводить до понять границі і похідної функції в точці. Поняття границі спочатку вводиться на наочно-інтуїтивному рівні, а потім уточнюєть­ся за допомогою наближених обчислень. Уза­гальнення поняття швидкості перебігу процесу приводить до поняття швидкості зміни функції в точці, тобто до похідної.

Формуючи поняття похідної, автори намагалися сприяти розумінню того, що похідна моделює не тільки швидкість механічного руху, а й швид­кість зміни з часом будь-якого процесу (напри­клад, швидкість нагрівання тіла, швидкість випаровування, швидкість наповнення посуди­ни рідиною, силу змінного струму тощо).

Через тему «Похідна та її застосування» прохо­дить одна з найважливіших ідей математики — ідея лінеаризації, суть якої полягає в заміні в околі будь-якої точки диференційовної функ­ції деякою лінійною. Цей метод відіграє велику роль у вивченні інтегралів, де він дістає подаль­ший розвиток.

Одним із важливих застосувань похідної є її використання для дослідження функцій і побу­дови їх графіків. На основі ознак монотонності функцій і достатніх умов екстремуму розгляда­ються алгоритми знаходження проміжків зрос­тання, спадання, сталості функцій, а також точок екстремуму. На базовому рівні ці алго­ритми застосовані до функцій, диференційовних в області їх визначення. На основному рівні такі алгоритми розглядають для функцій, дифе­ренційовних в усіх точках області визначення, за винятком скінченного числа точок, у яких функція неперервна.

Алгоритм знаходження найбільшого і наймен­шого значень функції за допомогою похідної застосовують у прикладних задачах на основі методу математичного моделювання.

Важливим завершенням функціональної лінії курсу «Математика» є розділ «Інтеграл та його застосування», у якому вводять поняття інте­грала, яке є необхідним інструментом дослі­дження руху. Основні ідеї математичного ана­лізу виглядають досить простими і наочними, якщо викладати їх на тому інтуїтивному рівні, на якому вони виникли історично і який цілком задовольняє потреби загальноосвітньої підготов­ки учнів. Не варто захоплюватися формально-логічною строгістю доведень та відводити багато часу суто технічним питанням і конструкціям. Більше уваги слід приділити змістовності ідей і понять, їх геометричному і фізичному тлума­ченню.

Поняття первісної вводиться на основі розв’язання прикладних задач, у певному сенсі обернених до тих, що розглядалися у розділі «Похідна та її застосування», а саме задач на відновлення закону руху за його швидкістю, швидкості — за прискоренням тощо. Розгля­дається основна властивість первісних, склада­ється таблиця первісних, виводяться правила їх знаходження. Наведені задачі потребують володіння лише найпростішою технікою інте­грування.

Інтеграл вводять як приріст первісної, що при­родно випливає з розв’язання задач на знахо­дження шляху, пройденого тілом, площі кри­волінійної трапеції. Таке означення інтеграла більш доступне для сприйняття учнями порів­няно з означенням за допомогою інтегральних сум. Воно дозволяє від самого початку розгля­ду теми обчислювати інтеграли і розв’язувати прикладні задачі. Крім того, на основі такого означення легко доводять усі властивості інте­грала.

На основному рівні подається ще одне тлума­чення інтеграла як границі інтегральних сум. Це дає можливість обчислювати інтеграли наближено, а також використовувати дві схеми розв’язання прикладних задач.

Для знаходження площ фігур застосовують властивості площ геометричних фігур і геоме­тричні перетворення.

У розділі « Г еометричні тіла і поверхні» розгля­дають основні види геометричних тіл та їх влас­тивості. Вона є центральною у стереометричній підготовці учнів. Під час вивчення цієї теми дуже важливим є підхід, що передбачає фор­мування навичок конструювання і класифікації тіл та їх поверхонь. Такий підхід вимагає вико­ристання конструктивних означень. Конструк­тивні означення дозволяють установити спіль­ність між призмами і циліндрами, пірамідами та конусами. Паралельний розгляд зазначених груп тіл дає перевагу під час вивчення їх влас­тивостей, а також у подальшому під час знахо­дження об’ємів тіл і площ їх поверхонь. Такий підхід має неабияке значення для формування геометричного мислення учнів.

Під час викладення цієї теми постійна увага приділялася побудові зображень тіл. Необхідні для цього вміння побудови зображень плоских тіл закладалися під час вивчення тем «Пара­лельність прямих і площин у просторі» і «Пер­пендикулярність прямих і площин у просторі». У цій темі подаються конкретні пояснення щодо побудови зображень конкретних видів тіл. Побу­дова зображень і виконання побудов на зобра­женнях відіграє центральну роль у розвиненні просторового мислення учнів.

У підручнику особливу увагу приділено побу­дові перерізів геометричних тіл, які сприяють розвитку просторових уявлень учнів, засвоєнню властивостей тіл. Автори намагалися, щоб учні набули досвіду використання загальних методів дослідження властивостей тіл. Одним із таких загальних методів є метод перерізів. Використо­вуючи перерізи тіла, ми досліджуємо його вну­трішню структуру. Розгляд різноманітних пере­різів поданого тіла дає багато інформації про його будову і властивості. Крім цього, побудова перерізів часто дає змогу зводити розв’язання просторових задач до планіметричних.

Поняття симетрії в геометрії відносять до вуз­лових. Тому звертання до нього у підручнику є постійним під час вивчення тіл. Наявність симетрій у фігури спрощує вивчення її влас­тивостей та розв’язування задач, пов’язаних із цією фігурою.

Уведення нових просторових фігур у підручни­ку супроводжується розглядом достатньої кіль­кості та якості фізичних об’єктів, які природно моделюються цими фігурами, пошуком таких об’єктів у навколишньому середовищі, у «мате­ріальному» конструюванні цих фігур різними засобами.

У розділі « О б’єми і площі поверхонь геометричних тіл» завершується вивчення учнями в школі гео­метрії простору. Незважаючи на те що класичні формули обчислення об’ємів і площ поверхонь були відомі ще давньогрецьким вченим, для їх повноцінного обґрунтування знадобилося прак­тично два тисячоліття. І це цілком зрозуміло. Поки не вдавалося формалізувати ідеї гранично­го переходу, твердження стосовно вимірювання величин не мали відповідного підґрунтя.

У підручнику розглянуто різні методи обчис­лення об’ємів і площ поверхонь. Особливу увагу приділено методу розбиття, який має велике практичне значення. Його суть полягає у поді­лі тіла на частини, об’єми яких легко знайти і з яких можна скласти тіло відомого об’єму. Метод вичерпування та застосування інтеграла в цій темі передбачає володіння відповідними ідеями і поняттями. Використання аналогії між вимірюваннями площ плоских фігур і об’ємів сприяє засвоєнню матеріалу учнями. Під час вивчення площ поверхонь тіл широко вико­ристовують природну та важливу з практичної точки зору ідею розгортки.

Багато методичних проблем виникає під час розгляду поняття площі поверхні тіла. Труд­нощі тут пов’язані з відсутністю досить про­стого означення, яке б охоплювало всі основні види «викривлених» поверхонь — циліндричну, конічну і сферичну.

Загальне означення площі поверхні, яке ґрунту­ється на понятті об’єму і запропоноване Г. Мін­ковським на початку ХХ століття, потребує пев­ного досвіду і підготовленості як учителів, так і учнів. Тому в підручнику обчислення площі поверхонь циліндра і конуса зведено до обчис­лення площі їх розгорток. Можливість такого розгортання спирається на практичний досвід учнів, їх просторові уявлення і, безумовно, не може бути обґрунтована на високому рівні стро­гості.

Означення площі поверхні за Г. Мінковським у підручнику наведено наприкінці розділу. Воно забезпечує досить просте виведення фор­мули для обчислення площі поверхні сфери, а також може використовуватися для посилення обґрунтованості понять площі поверхні цилін­дра і конуса.

Сучасна математична освіта неможлива без фор­мування ймовірносно-статистичного мислення. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики вивчають починаючи з основної школи в обсязі, що відповідає вимогам держав­ного стандарту. У старшій школі ця змістова лінія суттєво розширюється, поглиблюється. Вивчення цієї теми спирається на елементи комбінаторики, ймовірності, статистики, що вивчалися в основній школі.

Останній розділ підручника — «Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики». Оскільки процес формування ймовірнісно-статистичного мислення має розрив (відповідні теми вивчаються в 6, 9 і 11 класах), перший параграф цього розділу присвячено повторен­ню, систематизації, поглибленню і розширен­ню матеріалу, що вивчався в основній школі. Певну увагу тут приділено зв’язку між кла­сичним і статистичним підходами до поняття ймовірності. У другому параграфі цього роз­ділу викладаються елементи комбінаторики, які в основній школі майже не вивчалися (за винятком програмової вимоги до учнів 5 класу щодо вміння розв’язувати найпростіші комбі­наторні задачі без вказівки методів). Зважаючи на обмаль навчального часу, можна обмежитися розв’язанням задач на підставі комбінаторних правил множення і додавання. У підручнику викладено також поняття перестановки, роз­міщення і комбінації, наведено формули для обчислення їх кількості, але цей матеріал, згідно з програмою, не є обов’язковим і може вивчатися за наявності потреб і можливостей. Останній параграф розділу присвячено вибір­ковому методу у статистиці. З одного боку, це є спробою уникнути дублювання з матеріалом, що вивчався у 9 класі, з іншого (і це головне) — дає змогу формувати в учнів початкові уявлення про задачі, які розв’язує математична статистика.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

до першого питання

1. Бурда М.І. Структура і зміст профільного навчання математики / М. І. Бурда // Математика в школі. – 2007. – №7, с.3-6.

2. Диференціація та стандартизація математичної освіти в загальноосвітніх навчально-виховних закладах та вищих навчальних закладах першого та другого рівнів акредитації: Звіт про НДР (заключний) [Електронний ресурс]. – Режим доступу: www.home.skif.net

3.Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. Профильная дифференциация обучения математике / Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова // Математика в школе. – 1990. – № 4. – С. 21-27.

4. Концепція профільного навчання в старшій школі // Освіта України. – 2003. – № 42-43. – С. 8-9.

5. Матізин Т. Новій державі – нову школу // Рідна школа. – 2000. – № 2. – С. 65-66.

6. Петренко С. В. Особливості навчання математики в профільній школі / Діяльність навчального закладу як умова розбудови освітнього простору регіону. Матеріали Всеукраїнської науково-практичної конференції / С. В. Петренко, О. В. Мартиненко. – Чернігів: РВВЧДПУ, 2004. – С. 63-66.

7. Пустовая Є. Профорієнтація: проблеми, досвід, перспективи / Є. Пустовая // Завуч. – 2003. – № 9. – С. 2-3.

до другого питання

8. Бурда М. Структура і зміст профільного навчання / Михайло Бурда // Математика в школі. – 2007. – №7. – С.3-6

до третього питання

1. Афанасьєва О. М., Бродський Я. С., Павлов О. Л., Сліпенко А. К. Про новий підручник з математики для 10 класів рівня стандарту. // Математика в школах України. — 2010. — № 25. — С. 9.

2. Бродський Я. С., Павлов О. Л. Яким повинен бути підручник з математики. // Математика в школах України. — 2011. — № 12. — С. 2–7.

3.Броневщук С. Г. Профильное обучение и единый государственный экзамен [Электронный ресурс] / С. Г. Броневщук. – Режим доступа: www.minobr.sakha.ru

4. Бурда М. Програма з математики для класів гуманітарного напряму, 10-11 класи / М. Бурда, Ю. Мальований // Математика в школі. – 2003. – № 6. – С. 14-17.

5. Петренко С. В. Особливості навчання математики в профільній школі / Діяльність навчального закладу як умова розбудови освітнього простору регіону. Матеріали Всеукраїнської науково-практичної конференції / С. В. Петренко, О. В. Мартиненко. – Чернігів: РВВЧДПУ, 2004. – С. 63-66.