Дифракція Фраунгофера на щілині

Нехай на досить довгу вузьку прямокутну щілину шириною b перпендикулярно до неї падає плоска світлова хвиля. Розмістимо за щілиною збиральну лінзу, а у фокальній площині екран для спостережень результатів дифракції (рис. 3).

Щілину шириною b ділять на N вузьких смуг шириною

(9)

де b – ширина щілини;

N – число смуг на які поділено щілину;

– ширина однієї смуги.

Оптична різниця ходу двох променів від однієї смуги шириною буде дорівнювати

. (10)

Рис. 3

Оптична різниця ходу пов’язана з оптичною різницею фаз співвідношення

(11)

де – хвильове число;

– кут дифракції.

Для знаходження результуючої амплітуди від всіх смуг, яка буде збуджуватися в точці М (рис.3), використаємо формулу результуючої амплітуди при інтерференції багатьох хвиль

(12)

де – амплітуда хвиль від всієї щілини;

N – число смуг, на які поділена щілина шириною b;

– кут дифракції.

Розглянемо випадок, коли . У цьому випадку

. (13)

Формула (12) з урахуванням (13) перепишеться

(14)

Оскільки інтенсивність світлових хвиль пропорційна , то

(15)

Знайдемо умови мінімуму й максимуму дифракції світлових хвиль, які приходять у точку М (рис.3) від однієї щілини. У точці М інтенсивність світлових хвиль буде дорівнювати нулю, якщо . Це можливо лише у випадку, коли , звідки

(16)

де b – ширина щілини;

– кут дифракції;

k – порядок максимуму;

– довжина хвилі монохроматичного світла.

Умова (16) є умовою мінімуму дифракції від однієї щілини.

У точці М буде спостерігатись максимум дифракції, якщо . Це можливо за умови, коли , звідки

. (17)

Умова (17) є умовою максимуму дифракції від однієї щілини.

Розглянемо окремі випадки залежності амплітуди хвиль, які приходять від однієї щілини в точку накладання, від кута дифракції :

а) нехай . Підставивши в (12) значення цього кута, одержимо невизначеність типу . Для розкривання цієї невизначеності можна

використати правило Лопіталя

(18)

Якщо підставити цей результат у (12) одержимо, що

(19)

де – амплітуда хвиль від окремої вузької смуги;

N – число смуг, на які поділено щілину.

Графічна інтерпретація висновку (19) має вигляд

а відповідно інтенсивність хвиль буде дорівнювати

.

б) нехай . В цьому випадку і , а амплітуди від окремих смуг, на які ми поділили щілину, після додавання дають замкнену лінію

в) нехай . В цьому випадку додавання амплітуд в довільній точці накладання не дає замкнутої лінії. Графічна інтерпретація цього висновку, а також результуюча амплітуда, показані нижче на рисунку.