Критерий устойчивости Попова для нелинейной системы общего вида

Теорема Попова определяет условие абсолютной устойчивости динамических систем с линейной частью и нелинейными элементами класса H в цепи обратной связи.

Рассматривается структурная система динамической системы замкнутого типа:

Частным случаем является условие, что .

Теорема Попова определяет условие абсолютной устойчивости для линейной системы с произвольной нелинейной функцией из подкласса в цепи обратной связи.

1) Рассмотрим случай нелинейной функции F(x), удовлетворяющей следующим условиям:

Для оценки устойчивости Попов предложил вычислить годограф функции .

Теорема абсолютной устойчивости Попова:

Если существует такое число , при котором вещественная часть функции Попова всегда положительна при любой частоте, то замкнутая система обладает устойчивостью с любой нелинейной функцией заданного класса H.

Геометрическая интерпретация:

Запишем годограф линейной части:

Введем преобразованную передаточную функцию:

где

Вещественная и мнимая части представляют собой четные функции частоты. Для положительной определенности вещественной части функции Попова должны выполняться следующие условия:

устойчивая замкнутая система замкнутая неустойчивая система

с нелинейным элементом класса H

Линейная система с произвольной нелинейной функцией класса H в цепи обратной связи будет устойчива, если из критической точки с координатой можно провести касательную с тангенсом угла , которая не будет пересекать годограф преобразованной передаточной функции с вещественной частью и мнимой .

Рассмотрим годограф передаточной преобразованной функции аналогичный апериодическому звену:

Теорема Попова для линейной системы, устойчивой в замкнутом состоянии:

В этом случае коэффициент усиления в цепи обратной связи ограничен допустимым min и max коэффициентом усиления

Для устойчивости замкнутой системы неустойчивой в разомкнутом состоянии нелинейная функция в цепи обратной связи должна обладать следующими свойствами:

Функция Попова для неустойчивой системы:

Для устойчивости замкнутой системы вещественная часть функции Попова должна быть больше 0.