Табличная форма двойственной пары задач ЛП

Для одновременного представления прямой и двойственной задач также используется табличная форма записи.

Введем слабые переменные в обе задачи двойственной пары:

();

()

()

при ограничениях:

();

()

()

Выберем в каждой задаче слабые переменные в качестве базисных, получим табличную форму для каждой из задач, а также совмещенную таблицу.

-1 …

	-	-	…	-
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

=-F

=

=

=

Для исходной задачи каждому уравнению соответствует строка таблицы (подобно табличному симплекс – методу). Чтобы получить исходную формулировку каждый коэффициент в строке умножают на соответствующую переменную над таблицей. Затем полученные произведения складываются, и результат будет равен переменной справа от таблицы.

Двойственная задача определяется столбцами данной таблицы и формируется следующим образом:

	-	-	…	-
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

= = … =

Таким образом, прямая и двойственная задачи могут быть описаны единой таблицей, в которой установлено следующее соответствие переменных:

-1 …

	-	-	…	-
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

= = … =

() и ()

Таблица такого вида называется сокращенной симплекс – таблицей, т. к. в ней отсутствуют столбцы (строки), соответствующие базисным переменным.

Рассмотрим особенности такой симплекс – таблицы.

1) Любое преобразование таблицы, соответствующее смене базиса исходной задачи, дает новую таблицу, которая описывает как исходную, так и двойственную задачи.

2) Элементы первой строки, соответствующие коэффициентам при свободных переменных в выражении для целевой функции исходной задачи, всегда совпадают со значениями базисных переменных двойственной задачи.

3) Элементы первого столбца, соответствующиебазисным переменным (свободным членам) исходной задачи, всегда совпадают с коэффициентами при свободных переменных в выражении для целевой функции двойственной задачи.

4) Если элементы первой строки и первого столбца неотрицательны (возможно, кроме элемента на их пересечении), то достигнуто оптимальное решение как исходной, так и двойственной задач.

Рассмотрим полученное утверждение.

Для исходной задачи неотрицательные элементы первого столбца говорят о том, что базисное решение является допустимым. Если при этом положительны коэффициенты первой строки, то достигнут - см описание симплекс – метода.

Для двойственной задачи неотрицательные элементы первой строки говорят о том, что базисное решение является допустимым. Положительные элементы первого столбца означают получение . Минимизация обусловлена процедурой заполнения таблицы. Первая строка соответствует , а первый столбец соответствует - .

Отсюда .