Метод розкриття визначника за елементами рядка або стовпця

Означення. Мінором елемента називається визначник (n -1)-ого порядку, який утворюється із заданого визначника n -го порядку викреслюванням i -ої строки та j -ого стовпця.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента є добуток

.

Зауваження. Таким чином, коли показник степеня є парним, тоді значення мінора та алгебраїчного доповнення співпадають. Коли показник степеня є непарним, тоді значення мінора та алгебраїчного доповнення є протилежними числами.

Приклади обчислення мінорів та алгебраїчних доповнень.

Визначник	Мінор	Алгебраїчне доповнення

Теорема. Визначник порядку n дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:

.

(1.2)

Зауваження. Записана теорема є окремим випадком більш загальної теореми, яка доведена Лапласом у 1772 р. Окремий випадок теореми Лапласа зустрічається ще раніше у рукописах Лейбніца.

Теорема Лапласа. Нехай А — квадратна матриця розміру в якій вибрано довільні k рядків (стовпців). Тоді визначник матриці дорівнює сумі всіляких добутків мінорів -го порядку, розташованих в цих рядках (стовпцях), на їх алгебраїчні доповнення:

,

(1.3)

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців (рядків) .

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати k стовпців з n, тобто біноміальному коефіцієнту .

Приклад. Розкрити визначник із приклада 1 за елементами другого стовпця.

Розв’язання.

.