Доведення

За означенням . Транспонований визначник дорівнює: . Співпадіння їх значень є очевидним.

2. Якщо у визначнику усі елементи будь-якого рядка (стовпця) дорівнюють нулю, то такий визначник дорівнює нулю.

Доведення (на прикладі нульових елементів першого рядка).

.

3. Якщо у визначнику усі елементи будь-якого рядка (стовпця) дорівнюють відповідним елементам іншого рядка (стовпця), то такий визначник дорівнює нулю.

Доведення (на прикладі рівних елементів рядків).

.

4. Якщо у визначнику усі елементи будь-якого рядка (стовпця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка (стовпця), то такий визначник дорівнює нулю.

Доведення (на прикладі пропорційних елементів стовпців).

.

5. Якщо у визначнику переставити місцями два рядки (стовпці) то значення визначника зміниться на протилежне за знаком.

Доведення (на прикладі перестановки елементів рядків).

За означенням .

Після перестановки рядків отримаємо визначник:

.

6. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника помножити на число , то значення визначника теж помножиться на це число.

Властивість 6 може бути сформульована у інший спосіб: спільний множник елементів будь-якого рядка (стовпця) можна виносити за знак визначника.

Доведення (на прикладі елементів другого стовпця).

.

7. Якщо всі елементи і -го рядка визначника записати у вигляді суми двох додатків , то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких всі рядки, крім і -го, такі самі, як і в початковому визначнику, і -й рядок одного з визначників складається з елементів а_j, а другого – з елементів b_j.

Доведення (на прикладі елементів першого рядка).

Для елементів першого рядка твердження властивості набуває вигляду:

.

Обчислимо визначник:

.

8. Значення визначника не змінюється, якщо до елементів одного з рядків додаються елементи другого рядка, помножені на одне й те саме число.

Доведення (на прикладі рядків).

Для елементів рядків твердження властивості набуває вигляду:

.