Свойства циклических кодов по обнаружению ошибок

Свойства циклических кодов полностью определяются выбранным порождающим (образующим) многочленом .

I. Если порождающий многочлен содержит более одного члена, то циклический код обнаруживает все одиночные ошибки. При представлении циклического кода многочленами одиночная ошибка описывается одночленом , где - указывает номер искаженного разряда . Поскольку одночлен не делится на многочлен без остатка, то ошибка будет обнаружена.

2. Циклический код с порождающим многочленом обнаруживает все нечетные ошибки. Используя правила построения проверочной матрицы для , получим . При такой проверочной матрице остаток определяется суммой по модулю 2 всех элементов принятой кодовой комбинации (проверка на четность). Поэтому все искажения на нечетном количестве позиций будут обнаружены.

3. Циклический код обнаруживает все одиночные и двукратные ошибки, если разрядность кода не больше длины цикла используемого порождающего многочлена, т.е. . Под длиной цикла многочлена понимают минимальный показатель степени двучлена , при котором этот двучлен делится без остатка на образующий многочлен .

4. Циклический код с многочленом степени обнаруживает все групповые ошибки длительностью в разрядов и менее. Любая групповая ошибка в разрядов описывается многочленом степени , т.е. . Многочлен же степени на многочлен степени не делится и, таким образом, ошибка обнаруживается.

5. Циклический код с порождающим многочленом степени не обнаруживает часть ошибок -й кратности.

6. Циклический код с порождающим многочленом степени не обнаруживает часть ошибок более -й кратности.

Анализируя перечисленные свойства циклического кода, можно увидеть, что способности кода по обнаружению и исправлению ошибок полностью определяются выбранным образующим многочленом .

При обнаружении ошибок стандартные многочлены имеют вид: , при длине кодовой комбинации ,

или , при длине кодовой комбинации ;

, при длине кодовой комбинации .

Разработан ряд методик по выбору порождающего многочлена . В литературе коды называют по фамилиям ученых, предложивших ту или иную методику. Так получили свое название коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ), коды Рида-Соломона, коды Файра и др.