Число обнаруживаемых или исправляемых ошибок

При применении двоичных кодов учитывают только дискретные искажения, при которых единица переходит в нуль (1 0) или нуль переходит в единицу (0 1). Переход 1 0 или 0 1 только в одном элементе кодовой комбинации называют единичной ошибкой (или единичным искажением). В общем случае под кратностью ошибки подразумевают число позиций кодовой комбинации, на кото­рых под действием помехи одни символы оказались замененными на другие. Возможны двукратные () и многократные () искажения элементов в кодо­вой комбинации в пределах .

Минимальное кодовое расстояние является основным параметром, характе­ризующим корректирующие способности данного кода. Если код используется только для обнаружения ошибок кратностью , то необходимо и достаточно, что­бы минимальное кодовое расстояние было равно (рис.8.12)

. (8.28)

Рис. 8.12. Геометрическая модель кода

В этом случае никакая комбинация из ошибок не может перевести одну разрешенную кодовую комбинацию в другую разрешенную. Таким образом, ус­ловие обнаружения всех ошибок кратностью можно записать в виде:

. (8.29)

Чтобы можно было исправить все ошибки кратностью и менее, необхо­димо иметь минимальное расстояние, удовлетворяющее условию:

. (8.30)

В соответствии с этим условие исправления всех ошибок кратностью не более можно записать в виде:

(8.31)

Из (8.29) и (8.31) следует, что если код исправляет все ошибки кратностью , то число ошибок, которые он может обнаружить, равно .

Аналогично можно показать, что для одновременного исправления ошибок кратности t_u и обнаружения ошибок кратности t_о кодовое расстояние должно быть равно:

.

Следует отметить, что соотношения (8.29) и (8.31) устанавливают лишь гарантированное минимальное число обнаруживаемых или исправляемых ошибок при заданном и не ограничивают возможность обнаружения ошибок большей кратности. Например, простейший код с проверкой на четность с позволяет обнаруживать не только одиночные ошибки, но и любое нечетное число ошибок в пределах .