Поверхность

«Поверхность есть то, что имее т длину и ширину» (Эвклид). Это опреде-ление возникло как абстракция «оболо-чек» реальных предметов, тел прост-ранства. Каждое тело имеет свою пове-рхность. Шар имеет сферическую пове-рхность, земной шар – земную поверх-ность или геоид, плод вишни –поверх-ность вращения, пшеничная соломинка цилиндрична, а поверхность воды в не-

большом водоёме представляет собой

Рис.5.21.. Пространственная ломаная линия как результат пересечения двух многогранных поверхностей

Рис.5.22. Пространственная кривая

линия как результат пересечения двух кривых поверхностей.

Рис.5.23. Общий вид поверхности.

горизонтальную плоскость.

Имея только длину и ширину, повер-хность двумерна. Положение точки на ней определяется двумя «поверхност-ными» координатами. Поэтому поверх-ность является двупараметрическим

множеством точек.

Как и линия, любая поверхность имеет кинематическую природу своего происхождения.

Определение 5.6. Поверхностью называется двумерная система после-довательных положений линии, движу-щейся в пространстве.

Движущаяся линия l называется образующей, а элементы пространства,

задающие закон её движения – направ-ляющими (m, m¹, m²,…mⁿ) (рис..5.19).

Образующая и направляющие линии могут меняться своими «ролями».

Совокупность фиксированных поло-жений взаимно перемещающихся линий

l и m называется линейным каркасом поверхности F. Если представить точки пересечения этих линий дискретно, то они образуют точечный каркас данной поверхности.

Характер движения образующей в пространстве определяется видом и числом направляющих, условиями дви-жения по ним образующей и требова-ниями изменяемости или неизменности её формы в процессе движения.

Вид образующей и закон её пере-мещения в пространстве однозначно определяет конкретную поверхность.

Определить или задать поверхно-сть в пространстве – значит выде-лить её из бесчисленного множества поверхностей, потенциально заполняю-щих пространство, идеально «овещест-вляя» его конкретные конструктивные элементы и устанавливая аксиомати- ческий закон взаимодействия между ними.

Определение 5.7. Совокупность елементов пространства и закон вза-имодействия между ними, выделяю-щие данную поверхность из всего мно-жества поверхностей, потенциально существующих в пространстве, назы-вается её о п р е д е л и т е л е м.

Всякая поверхность имеет конкрет-ную форму и положение в пространстве.

Параметры, изменение которых вы-

зывает изменение формы поверхности,

называется параметрами её формы.

Параметры, изменение которых

вызывает изменение положения повер-

хности в пространстве, называется па-раметрами её положения. Параметры формы и положения поверхности вхо-дят в состав её определителя.

Так как элементы определителя по-верхности и закон их взаимодействия

могут принимать самые разнообразные формы и характер, то в концептуаль-ном пространстве знаний можно пред-ставить большое разнообразие поверх-ностей, порождаемых их разнообраз-ными определителями (рис.5.20).

Кривые поверхности классифици-руются по виду образующей и закону её перемещения в пространстве, по возможности их описания алгебраичес-кими уравнениями, по удовлетворению наперед заданным условиям и др.

По виду образующей поверхности бывают прямо- и криволинейчатыми.

Образующие криволинейчатых поверх-ностей в процессе образования пос-ледних бывают постоянного и перемен-ного вида.

Криволинейчатые поверхности с образующей постоянного вида (как правило, кривыми линиями второго по-рядка), по закону её движения подраз-деляются на:

закономерные, когда одна алгебра-ическая кривая линия закономерно пе-ремещается по другой алгебраической кривой линии;

поверхности параллельного пере-носа, образованные поступательным перемещением плоской кривой линии параллельно самой себе, и

поверхности вращения.

Криволинейчатые поверхности с образующей переменного вида по зако-ну её изменения и движения подразде-ляются на:

закономерные;

каналовые, образованные движе-нием окружности переменного радиуса так, что плоскость её кривизны всегда нормальна к направляющей кривой, по которой перемещается её центр;

циклические, образованные свобо-дным движением окружности перемен-ного радиуса;

графические, образованные движе-нием изменяющей свою форму образу-

Рис.5.24. Классификация

кривых поверхностей

ющей в соответствии с результатами

расчетов, удовлетворяющих наложен-

ным условиям (крыло самолета, лопа-сть турбины, предмет дизайна и т.п.);

топографические, образованные

движением линии пересечения (гори-зонтали) участков земной поверхности различного рельефа опускающейся или

поднимающейся горизонтальной плос-

костью;

сложные вращения, образованные вращательным движением вокруг оси меридиональной образующей, которая одновременно осуществляет возвратно

-поступательное движение вдоль оси и изменяет свой вид с той же периодич-ностью [72];

гравитационные, образуемые в реультате свободного провисания весо-

мой сети, в нитях которой возникают

Рис.5..25. Двугранный угол и его мера

Рис.5.26. Пучок плоскостей

Рис.5.27. Образование многогран-

ной поверхности тетраэдра

Рис 5..28. Призматическая

поверхность

равные напряжения растяжения. Буду-

чи замоноличенной и перевёрнутой та-

кая поверхность становится равнона-пряженной по усилиям сжатия;

висячие или вантовые покрытия, образуемые провисанием гибких ван-тов, соединяющих соответственные то-чки опорных криволинейных направля-ющих;

минимальные, образуемые силами поверхностного натяжения плёнки типа

мыльной по пространственному замк-нутому опорному контуру;

- пневматические, образуемые из-

быточным давлением воздуха внутри замкнутой оболочки;

В особый класс криволинейчатых объединяются киноперспективные по-верхности, образуемые центральным проецированием неподвижной линии из подвижного центра на подвижную кар-тину (см. с 229)

Прямолинейчатые поверхности по закону движения образующей бывают:

с тремя направляющими;

с направляющей плоскостью, когда образующая перемещается по двум направляющим, сохраняя данный угол с данной плоскостью;

с плоскостью параллелизма, когда образующая перемещается по двум на-правляющим, оставаясь параллельной данной плоскости;

вращения;

с одной направляющей, в том числе

плоскость.

Понятие плоскости относится к чис-лу основных исходных понятий аксио-матики геометрии эвклидова простран-ства как третий после точки и линии элемент этого пространства.

Точки и линии, принадлежащие плоскости, называются компланарны - ми. Поэтому плоскостью является сис-

тема её компланарных точек и линий.

Определение 5.8. Плоскостью на-зывается двумерная система последо-вательных положений прямолинейной образующей линии, которая переме-щается параллельно самой себе по направляющей прямой линии.

Геометрически плоскость в прост-ранстве может быть задана:

-тремя неколлинейными точками;

-точкой и прямой;

-двумя параллельными прямыми;

-двумя пересекающимися прямыми;

-любой плоской фигурой.

Две пересекающиеся прямые опре-деляют плоский линейный угол.

Две пересекающиеся плоскости оп-ределяют пространственный двугран-ныйугол, мерой которого является ли-ней-ный угол с вершиной на ребре и со

сторонами в гранях, перпендикулярны-ми ребру (рис.5.25).

Определение 5.9. Однопараметри-

ческое множество плоскостей, прохо-дящих через одну прямую l, наназыва-ется п у ч к о м плоскостей (рис.5.26).

Прямая l называется носителем пучка плоскостей.

Если лучи связки прямых (см. рис. 5.8) принять за носители пучков плоско-стей, то образованная из них система будет называться связкой плоскостей, а центр связки прямых,- носителем связ-

ки плоскостей.

Так как плоскости такой связки вза-имно пересекаются по прямым, прохо-дящим через её центр, то понятие связки плоскостей эквивалентно поня-тию связки прямых.

Одна плоскость делит всё прост-ранство на два полупространства, две – на четыре части, а три, - на восемь открытых частей. Если связку трёх пе-ресекающихся плоскостей пересечь че-твёртой плоскостью, то одна из полу-ченных частей пространства окажется замкнутой. Такая часть пространства является геометрическим телом, ог-раниченным 4-хгранной поверхностью с треугольными гранями и называемой тетраэдром. (рис.5.27). Тетраэдр – многогранник.

Определение 5.10. Часть прост-ранства, ограниченная многогранной поверхностью, называется м н о г о -

г р а н н и к о м.

Если минимум три плоскости (a, b, g), параллельны некоторому направ-лению s, то, пересекаясь, они ограничи-вают часть пространства, называемую призмой (рис. 5.24).

Призма – многогранник.

Плоскости, пересекаясь, определя-ют рёбра многогранной поверхности.. Рёбра, пересекаясь, определяют её вершины, а плоские многоугольники

рёбер, соединяющих вершины, образу-

ют её грани

Рис.5.29. Стержневые структуры как

конструкции покрытий

на основе ре шётки:

а- квадратной

б-треугольной

Рис.5.30.. Классификация

многогранных

поверхностей

Совокупность всех вершин много-

гранной поверхности, конструктивно взаимосвязанных рёбрами, называется её сеткой.

Если многогранную поверхность рассматривать как систему, то её сетка представляет собой структуру этой си-стемы.

Идея сетки как структуры вызвала к жизни пространственные стержневые конструкции – структуры (рис. 5.29, а, б).

Они структурируют, как правило,

плоский горизонтальный слой простран-

ства, верхняя граница которого пред-

ставляет собой решётки равносторон-них треугольников, квадратов или шес-тиугольников, принимаемых за осно-вания правильных пирамид, вершины которых определяют нижнюю границу этого слоя.

Структуры применяют для уст-рой-ства покрытий зданий.

Многогранные поверхности класси-

фицируются по различным признакам (

рис. 5.30).

Рис.5.31. Сетки поверхностей плато-новых тел и образуемых ими изозоно-эдров:

а – гексаэдра как соединения двух

тетраэдров;

б – 12-гранного изозоноэдра как со-

единения гексаэдра и октаэдра;

в - 30-гранного изоизноэдра как со-

единения додекаэдра и икоса

эдра.

Рис. 5.32. Звёзчатый октаэдр

(звезда Кеплера)

По характеру взаимного располо-жения граней многогранные поверхно-сти бывают:

выпуклыми, если вся поверхность располагается по одну сторону относи-тельно любой её грани.

невыпуклыми, если у поверхности есть такие грани, продолжение которых пересекает эту поверхность.

По виду граней и количеству их типов многогранные поверхности де - лятся на правильные и полуправиль-ные.

Определение 5.11. Многогранные поверхности, у которых все грани яв-л я ются одинаковыми правильными многоугольниками, в вершинах пересе-кается одинаковое число ребер, и все двугранные углы при рёбрах равны, на-зываются п р а в и л ь н ы м и.

Перечисленными свойствами обла-дают пять правильных многогранников или платоновых тел: тетраэдра, ок-таэдра, гексаэдра (куба), додекаэдра и икосаэдра. У первого, второго и пятого многогранника грани являются равно-сторонними треугольниками, у третьего – квадратами, у четвёртого – правиль-ными пятиугольниками.

Поверхности октаэдра и гексаэдра, дрдекаэдра и икосаэдра являются по-парно взаимными, так как между коли-чеством вершин и граней этих пар по-верхностей существует взаимно-одно-значное соответствие. У октаэдра сто-льно вершин, сколько у гексаэдра гра-ней и наоборот, у додекаэдра столько граней, сколько у икосаэдра вершин и наоборот.

Свойство взаимности конструкти - вно. На его основе можно конструиро-вать октаэдр, соединяя центры граней куба или икосаэдр путем соединения центров граней додекаэдра и наоборот.

Полуправильные многогранники или архимедовы тела получают из правиль-ных соответствующим срезанием или усечением их вершин или и вершин и рёбер. В результате получаются повер-хности, грани которых являются прави-льными многоугольниками двух или трёх типов.

Такими поверхностями обладают 13 полуправильных многогранников, из ко-торых(см. рис.15.41):

5 усеченных платоновых тел со

срезанными вершинами и двумя типа-ми граней:(усеченные тетраэдр, гекса-эдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр);

2 квазиправильных многогранника - кубооктаэдр и икосододекаэдр, полу-чаемые срезанием вершин с куба и икосаэдра плоскостями, проходящими через середины рёбер смежных граней;

4 платоновых тела со срезанными рёбрами и вершинами (ромбокубоок-таэдр, ромбоикосододекаэдр, ромбоу-сечённый кубооктаэдр и ромбоусечён-ный икосододекаэдр); Они имеют по три типа правильных граней, - треуго-льников, квадратов, пяти-, шести-, во-сьми- и десятиугольников (см.рис.5.30).

Требование правильности граней опре-деляет характер срезания рёбер и вер-шин.

2 «курносые» поверхности – курно-сый куб и курносый додекаэдр. У пер-вой каждая квадратная, а у второй,- каждая пятиугольная грань окружена равносторонними треугольниками.

На рис 5.30 вместе с изображения-ми платоновых тел и их усечённых ви-дов показаны развертки их поверхнос-тей, а цифрами обозначено число вер-шин, рёбер и граней.

Если продолжать грани платоно-вых или архимедовых тел до взаимного пересечения, то получатся звездчатыеформы их поверхностей. В частности, малый звездчатый додекаэдр получа-ется продолжением граней додекаэдра до взаимного пересечения; в результа-те каждая его грань становится осно-ванием правильной пятигранной пира-миды;

большой звездчатый додекаэдр по-лучается из икосаэдра если принять его грани за основания пирамид, соответ-ственные грани которых совпадают с 12 плоскостями пятёрок его вершин.

У икосаэдра всего 59 звездчатых форм, получаемых аналогичным обра-зом. На рис. 530 приведен 1-я, 3-я, 14-я и16-я формы. Подробней о них см [ 12].

Если вводить во взаимное пересе-чение одинаковые по структуре много-гранники, то получатся их звездчатые соединения:

звездчатый октаэдр (восьмиуго-льная звезда Кеплера) – результат соединения двух тетраэдров, вершины

которого совпадают с вершинами неко-

Рис. 5.33. Складчатые формы плато-новых тел на основе их изозоноэдров:

а – гексаэдра; б – октаэдра;

в - додекаэдра; г - икосаэдра

Рис.5.34. Антизвёздчатая форма куба

торого куба, диагоналями граней кото-рого являются его рёбра(рис.5.32)

Определение 5.12. Выпуклые мно-гогранники, все грани которых явля-ются одинаковыми ромбами, называ-ются и з о з о н о э д р а м и [ 12].

Изозоноэдры образуются путём со-единения взаимных платоновых тел та-ким образом, что их рёбра оказываются соответствующими диагоналями его ро-мбовых граней (рис.5.31, а, б, в).

Существует только три изозоноэд-ра, основанные на взаимности платоно-

вых тел соответственно с 8, 12-ю и 30-ю

конгруэнтными ромбовыми гранями:

1. поверхность гексаэдра (куба) как изозоноэдр соединения двух одинако-вых тетраэдров, ибо его квадратная грань является частным случаем ромбо-вой грани с одинаковыми диагоналями;

2. 12-гранный изозоноэдр, диагона-лями ромбовых граней которого явля-ются ребра взаимных гексаэдра и окта-эдра, пересекающие друг друга в их се-рединах;

3. 30-гранный изозоноэдр, диагона- лями ромбовых граней которого являют-ся ребра взаимных додекаэдра и икоса-эдра, пересекающие друг друга в их се-рединах.

Поверхности изозоноэдров взаим-ных платоновых тел являются частными случаями их звездчатых форм, когда смежные грани пирамид, основаниями которых являются грани этих тел, ока-зываются компланарными (лежвщими в одной плоскости). Это обстоятельство даёт возможность дальнейшего констру-ирования звездчатых форм платоновых тел по их наперёд заданным парамет-рам путем соответствующего перегиба-ния ромбовых граней по их диагоналям.

Если ромб перегнуть по его малой или большой диагонали, то получится складка из двух одинаковых треугольни-ков. Отсюда следует, что 12-гранный изозоноэдр может быть преобразован в два вида 24-гранных складчатых форм соответственно гексаэдра (если грани перегибаются по малой диагонали) (рис.5 33, а) или октаэдра (если грани перегибаются по большой диагонали (рис.5. 33, б).

Аналогично 30-гранный изозоноэдр может служить основой двух видов 60-гранных складчатых форм соответст-

-венно додекаэдра и икосаэдра. Первая получается путём перегибания его ром-бовых граней по малым диагоналям – рёбрам додекаэдра (рис. 5.33, в), вто-рая – по ребрам икосаэдра (рис.5.33, г).

При этом имеется ввиду, что диаго-

нали, по которым происходит переги-бание, своей длины не изменяют, а те, которые изламываются, свою длину из-меняют до наперёд заданных значений.

Описанные складчатые формы представляют собой общие случаи звё-здчатых форм поверхностей платоно-

вых тел, так как они получаются не пу-тём продолжения граней и рёбер по-следних до взаимного пересечения, а путём принятия их многоугольных гра-ней за основания одинаковых правиль-ных пирамид произвольной или напе-рёд заданной высоты. Направления вы-сот этих пирамид перпендикулярны к граням поверхностей исходных прави-льных многогранников в их центрах и образуют связки прямых, носители ко-орых совпадают с центрами этих тел.. При этом вершины пирамид на этих высотах могут располагаться по отно-шению к их основаниям как по одну, так и по другую сторону (рис. 5.34). В по-следнем случае получаемая форма не похожа на звёздчатую и поэтому её можно назвать антизвездчатой.

Практический интерес для архитек-торов и дизайнеров представляют резу-льтаты аппроксимации некоторых кри-вых поверхностей складками.

Под аппроксимацией понимают за-мену одних объектов другими, более простыми, но близкими к исходным [84]. В частности, поверхности всех платоно-вых тел аппроксимируют поверхность сферы, но наиболее близко или полно это делает поверхность икосаэдра, со-стоящая из 20 равносторонних треуго-льников.

Замена кривой поверхности такой многогранной, гранями которой являют-ся треугольники, называется т р и а н – г у л я ц и е й.

Практической целью триангуляцион-ной аппроксимации является разбивка кривой поверхности на одинаковые (ко-нгруэнтные), либо на подобные треуго-льники. Возможности достижения этой цели определяются особенностями ст-

руктуры аппроксимируемой поверхнос-

Рис.5.35. Складчатаяцилиндричес-кая поверхность и её развертка.

Рис.5.36. Складчатая коническая поверхность и её развертка

Рис. 5.37.. Структурирование рельефных слоёв пространства

ти.

Цилиндрическая поверхность ап-проксимируется складками из конгру-энтных равнобедренных треугольников, т.е., из элементов одного типоразмера

(рис.5.35). Складчатая цилиндрическая поверхность может быть изготов-лена по её развертке из плоского листа материала его соответственным пере-гибанием.

Коническая поверхность аппрокси-мируется складками из двух типов подо-

бных равнобедренных треугольников,

имеющих общие горизонтальные осно-вания (рис.5.36). При этом конструкти-вно целесообразно, чтобы треугольни-ки меньшей высоты занимали вертика-льное положение.

Складчатая коническая поверхность может быть изготовлена по его разверт-ке из плоского листа материала его со-ответственным перегибанием.

Поверхность одинакового ската, об-разованная движением прямолинейной образующей, касающейся цилиндричес-кой винтовой линии (ребра возврата), аппроксимируется, как и коническая по-верхность, двумя типами подобных рав-нобедренных треугольников, имеющих общие основания (рис.5.38).

Рис.5.38. Складчатая поверхность

одинакового ската и её развертка

Складчатую поверхность одинако-вого ската можно изготовить по её раз-вертке из плоского листа материала пу-тём соответствующего перегибания.

Поверхность вращения аппрокси-мируется складками из равнобедрен-ных треугольников с общими горизонта-льными основаниями, являющимися сторонами правильных n - угольников, вписанных в соответствующие парал-лели этой поверхности (рис.5.39).Высо-ты этих треугольников соответственно равны величинам ширины конических или цилиндрических «полос» (ярусов) поверхности, определяемых её смеж-ными параллелями.

Рис.5.39. Общий вид складчатой поверхности вращения

Сборка складчатой поверхности вращения выполняется поэлементно и «поярусно»: прежде выставляется пер-вый ярус треугольников, равные рас-стояния между вершинами которых оп-ределяют длины оснований треуголь-ников второго яруса, равные расстоя-ния между вершинами которых, в свою очередь, определяют длины оснований треугольников третьего яруса и т.д.

Рассмотрение конструктивных осо-бенностей предлагаемой аппроксима-ции показывает, что направление «ск-ладывания» прямолинейчатых развёр-тываемых торсовых поверхностей пер-пендикулярно направлению их обра-зующих, а у поверхности вращения – вытягивается по параллелям, т.е., пер-пендикулярно их меридианам. В резу-льтате прямолинейные образующие ис-ходных поверхностей и криволинейные меридианы поверхностей вращения за- кономерно изламывается, а получае-мые складчатые поверхности своими сетками как бы структурируют опре-делённые рельефные слои простра-нства. (рис.5.37).

Обобщение идеи аппроксимации указывает на то, что всякая кривая по-

Рис.5.40. Соединения гексаэдров иоктаэдров:

а – двух гексаэдров, повернутых

вокруг одной диагонали на

45°;

б – трёх гексаэдров, повёрнутых

на90° вокруг 3-х осей, прохо-

дящих через середины про-

тивополож ных рёбер;

в – четырёх октаэдров, поверну-

тых вокруг 3-х диагоналей

на 45°;

г – трёх октаэдров, повёрнутых

вокруг 4-х осей на 60°

верхность имеет свой многогранный прототип и является как бы пределом,

к которому стремится вписанная в неё или описанная вокруг неё многогранная поверхность при условии бесконечного увеличения числе её граней.

. Эффективным средством формо-образования сложных многогранных по-верхностей является процесс соеди-нения правильных многогранников фик-сацией их последовательных положе-ний в ходе поворотов на определённые углы вокруг наперёд выбранных осей (рис.5.40, а, б, в, г). При этом за оси вращения можно принимать диагонали исходного многогранника, прямые, сое-диняющие середины его противопо-ложных сторон, центры граней и, в принципе, любые другие прямые, вра-щение вокруг которых даёт интересные результаты.

Особым видом кривых поверхнос-тей являются односторонние, обладаю-щие необычными свойствами. Если

взять длинную прямоугольную полосу

Рис.5.41. Модели соединений правильных

многогранников ¹⁾

а – в – четырёх тетраэдров; г, д -- трёх

октаэдров; е – з – четырёх гексаэдров

и склеить её концы, предварительно ра-звернув их на 180°, получим поверхно-сть, называемую лентой Мёбиуса.

У этой поверхности, в отличии от цилиндрической, имеющей две стороны, всего одна сторона, переходящая изнут-

ри наружу (рис. 5.37). Поэтому она яв-

ляется неориентируемой. В отличие от

Модели выполнил студент ПГАСиА Погуляка А.В

Рис 5.42. Иллюстрация одностороггости

ленты Мёбиуса

цилиндрической поверхности, у неё не две граничные линии, а одна – замкну-тая пространственная кривая. Если эту поверхность разрезать по средней ли-нии, то она не распадется на две части

а превратится в новую ленту Мебиуса,

но с разворотом концов на360°. Другим представитетелем этого вида поверх-

-ностей является бу-тылка Клейна. Она об-разована путем изги-бания каналовой по-верхности таким обра-

зом, что край её узкой части, войдя вовнутрь

широкой, плавно соп-

рягается с её широ-

Рис.5.43. Бутылка кироким краем (рис..

Клейна 5.43)