![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример 1. Доказать непрерывность функции при любом значении
, пользуясь определением непрерывности функции
.
Решение. Возьмем любое значение на числовой оси и составим разность:
.
Так как , а
, то при
есть бесконечно малая функция. Следовательно, и
бесконечно мала при
как произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию. Отсюда следует, что
. Непрерывность
, таким образом, показана.
Пример 2. Дана функция . Доказать на «
»-языке непрерывность функции в точке
.
Решение. В точке функция определена:
.
Зададим . Составим разность
и оценим ее по модулю. При
для значений
, удовлетворяющих неравенству
, будет также выполняться и неравенство
.
Если положить , т. е.
, то при значениях
, для которых
, будет выполняться неравенство
. Непрерывность функции при
доказана.
Пример 3. Дана функция . Исследовать ее на непрерывность. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Определить характер точек разрыва и величину скачка. Построить график
.
Решение. Функция является неэлементарной, так как представлена различными аналитическими выражениями на промежутках
. Внутри первого промежутка элементарная функция
имеет разрыв при
. Разрыв также возможен в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках
и
, и в точке
.
Исследуем непрерывность в точке :
т.е
;
т.е
;
Так как , то функция
в точке
имеет разрыв первого рода. Найдем значение функции в точке
:
(т.к.
). Так как
, то функция непрерывна в этой точке слева.
Для точки имеем:
т.е
;
т.е
.
Так как , то
. Найдем значение функции в точке
:
(т.к.
). Таким образом
. Итак, функция непрерывна в точке
.
Наконец, для точки находим:
т.е
;
т.е
.
Таким образом, в точке функция имеет разрыв второго рода (бесконечный скачок).
График функции представлен на рис. 4.
Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность. Построить график
.
Решение. Так как – элементарная функция, определенная для всех
, поэтому она непрерывна на всей области определения.
Поскольку значение не определено, функция терпит разрыв в точке
.
Найдем односторонние пределы в точке
Так как в точке
имеет место разрыв функции II рода.
Для того, чтобы построить график , вычислим пределы функции при
и
:
График функции изображен на рис.5.
Пример 5. Найти точки разрыва функции , установить их род. В точках устранимого разрыва доопределить функцию таким образом, чтобы она стала непрерывной.
Решение. Так как яляется элементарной функцией, определенной для всех
, для которых
, т.е.
, то она непрерывна на всей области определения.
Поскольку значения ,
и
не определены, функция терпит разрыв в точках
,
и
.
Найдем односторонние пределы в точке :
, т.е
;
, т.е
.
, но значение
не определено. Таким образом, в точке
имеет место разрыв I рода (устранимый разрыв).
Доопределим функцию в точке таким образом, чтобы она стала непрерывной в этой точке.
По определению непрерывности функции в точке должно иметь место равенство . т. е.
Найдем односторонние пределы в точке :
,
т.е
,
т.е .
Таким образом, в точке имеет место разрыв II рода (бесконечный скачок).
Найдем односторонние пределы в точке :
,
т.е
,
т.е .
Таким образом, в точке имеет место разрыв II рода (бесконечный скачок).
Пример 6. Исследовать на равномерную непрерывность функцию на промежутке
.
Решение. Эта функция не является равномерно непрерывной на промежутке . Зададим
.
Возьмем и
, где
– натуральное число. Тогда
.
.
Какое бы мы ни выбрали,
можно выбрать настолько большим, что будет
, при этом
. Это противоречит определению равномерно непрерывной функции.
Пример 7. Показать, что функция на промежутке
не является равномерно непрерывной.
Решение. Зафиксируем . Взяв
и
, получим
при
, значит,
, но
.
Задания для самостоятельной работы
n 39. Исходя из определения непрерывности функции в терминах «», доказать непрерывность функций:
а) ![]() ![]() | б) ![]() ![]() |
в) ![]() ![]() | г) ![]() ![]() |
д) ![]() ![]() | е) ![]() ![]() |
ж) ![]() ![]() | з) ![]() ![]() |
и) ![]() ![]() | к) ![]() ![]() |
n 40. Исследовать данную функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Определить характер точек разрыва и величину скачка. Построить график функции.
а) ![]() | б) ![]() |
в) ![]() | г) ![]() |
д) ![]() | е) ![]() |
ж) ![]() | з) ![]() |
и) ![]() | к) ![]() |
n 41. Исследовать функцию на непрерывность. Построить график функции.
а) ![]() | б) ![]() |
в) ![]() | г) ![]() |
д) ![]() | е) ![]() |
ж) ![]() | з) ![]() |
и) ![]() | к) ![]() |
n 42. Найти точки разрыва функции, установить их характер. В точках устранимого разрыва доопределить функцию таким образом, чтобы она стала непрерывной.
а) ![]() | б) ![]() |
в) ![]() | г) ![]() |
д) ![]() | е) ![]() |
ж) ![]() | з) ![]() |
и) ![]() | к) ![]() |
n 43. Исследовать на равномерную непрерывность в заданных областях следующие функции:
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 8002 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!