Пример. При подбрасывании кубика событию А – «выпало четное число очков» благоприятствуют исходы: выпадение чисел 2

При подбрасывании кубика событию А – «выпало четное число очков» благоприятствуют исходы: выпадение чисел 2, 4, 6.

Классическое определение вероятности

Может быть использовано только в случае конечного числа равновозможных и попарно несовместных исходов.

Определение. Если в некотором испытании существует n равновозможных и попарно несовместных исходов и m из них благоприятствуют событию A, то вероятностью наступления события A называют отношение , то есть .

Пример 1. Из чисел от 10 до 19 наугад выбирают число. Какова вероятность, что оно делится на 3?

Решение:

Имеем числа 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19; то есть n = 10. Из них на 3 делятся числа 12, 15, 18; то есть m = 3. Следовательно, .

Пример 2. Класс, где учится 21 человек, разделили на группы по 7 человек. Какова вероятность, что Миша и Петя попадут в одну группу?

Решение:

Пусть Миша попал в первую группу, тогда в этой группе еще 6 мест, то есть m = 6. Остальных учащихся, кроме Миши 20 человек, то есть n = 20. Поэтому вероятность попасть Пете в одну группу с Мишей равна .

Замечание:

Вероятность невозможного события , вероятность достоверного события .

Задачи для самостоятельного решения:

1. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

2. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

5. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

6. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

7. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

8. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орёл, а во второй — решка.

10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Ответы: 1) 0,25; 2) 0,995; 3) 0,93; 4) 0,16; 5) 0,36; 6) 0,1; 7) 0,2; 8) 0,25; 9) 0,25; 10) 0,14.

Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что элементарные исходы равновозможны, но такие испытания редко имеют место на практике.

Например, если игральный кубик несимметричен, то выпадение одной грани уже не будет характеризоваться вероятностью , но ясно, что для этого несимметричного кубика выпадение этой грани характеризуется некоторой вероятностью, указывающей, насколько часто должна появляться эта грань при многократном бросании.

Классическое определение вероятности не требует, чтобы испытание обязательно проводилось в действительности: теоретически определяются все равновозможные и благоприятствующие исходы, но на практике часто до проведения большого количества испытаний трудно или невозможно установить равновозможность исходов испытания.

Например, до многократного подбрасывания канцелярской кнопки трудно представить, равновозможны ли ее падения «на плоскость» или «на бок».

Поэтому одним из более важных подходов с практической точки зрения является статистический подход к определению вероятности. Для этого используется понятие относительной частоты события.

Определение. Относительной частотой события A в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний M, в которых это событие произошло, к числу N всех проведенных испытаний: , где

M – частота события A,

W – относительная частота.

При небольшом числе опытов частота события имеет случайный характер и может заметно отличаться от одной группы опытов к другой. Но при большом числе независимых повторений одного и того же опыта в одинаковых условиях частота появления данного случайного события колеблется около постоянного числа.

Например, в 18 веке французский естествоиспытатель Жорж де Бюффон провел 4040 испытаний с подбрасыванием монеты, в результате чего наблюдал появление орла 2048 раз (какую относительную частоту появления орла он получил? 0,5069). В начале ХХ века английский ученый Карл Пирсон провел с помощью своих учеников 24000 аналогичных испытаний и наблюдал 12012 появлений орла. Какова относительная частота была в этом случае? 0,5005.

Можно заметить, что при большом числе подбрасываний монеты относительная частота выпадения орла приближается к 0,5 – значению классической вероятности.

Это явление называют статистической устойчивостью относительных частот. Оно связывает реально проводимые испытания с теоретическими моделями этих испытаний.

Определение. Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется и к которому приближается относительная частота события при увеличении числа испытаний.

Якоб Бернулли обосновал так называемый закон больших чисел:

Можно считать достоверным, что при большом числе испытаний относительная частота события W(A) практически не отличается от его вероятности P(A), то есть при большом N:

P(A)

Статистическое определение вероятности применимо лишь в определенных условиях:

· рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые

могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одних и тех же условиях (например, невозможно ставить вопрос о вероятности появления гениального произведения искусства)

· число испытаний, в которых появляется событие, должно быть достаточно велико.

Пример. Лекарство давалось 1000 пациентам, 952 излечились. Какова относительная частота в рассмотренном исследовании?

Решение: .

Ответ: 0, 952.

Пример. Вероятность того, что новый телевизор в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных телевизоров в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение:

, по условию P(A)=0,045, значит, W(A) – P(A) = 0,051 – 0,045 = 0,006.

Пример. Родильный дом некоторого города вел по годам подсчет рождения мальчиков и девочек. Результаты заносились в таблицу:

Год	Число новорожденных
Девочки	Мальчики

Какое примерно количество мальчиков можно было ожидать в 2003 году, если ожидалось появление 2000 малышей?

М = 3866; N = 3866+3684 = 7550; W ≈ 0,5121 (относительная частота появления мальчика) 0,5121· 2000 ≈ 1024 мальчика.

Ответ: 1024.

Задачи для самостоятельного решения:

1. В изготовлении партии из 10.000 болтов обнаружено 250 бракованных болтов. Найти относительную частоту появления в данной партии бракованного болта.

2. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

3. Вероятность того, что новый принтер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,072. В некотором городе из 1000 проданных принтеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 73 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Ответы: 1) 0,025; 2) 0,498; 3) 0,001.

Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагало, что число элементарных исходов конечно, что также ограничивает его применение на практике.

В случае, когда имеет место испытание с бесконечным числом исходов, используют определение геометрической вероятности – попадание точки в область.

M

N

При определении геометрической вероятности полагают, что имеется область N и в ней меньшая область M. На область N наудачу бросают точку (это означает, что все точки области N «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайно точки).

Событие A – «попадание брошенной точки на область M». Область M называют благоприятствующей событию A.

Вероятность попадания в какую-либо часть области N пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы.

N

M

Область, на которую распространяется геометрическая вероятность, может быть:

1. отрезок (мерой является длина)

2. геометрическая фигура на плоскости (мерой является площадь)

3. геометрическое тело в пространстве (мерой является объем)

Дадим определение геометрической вероятности для случая плоской фигуры.

Определение. Пусть область M является частью области N. Событие A состоит в попадании случайно брошенной на область N точки в область M. Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области M к площади области N:

При этом вероятность попадания случайно брошенной точки на границу области считается равной нулю.

Пример. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 8 часов.

Решение. Число исходов бесконечно, применим определение геометрической вероятности. Сектор между 5 и 8 часами составляет часть площади всего циферблата, следовательно, .

Задача для самостоятельного решения.

Дано: AB = 10 см, AM = 2 см, MN = 4 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность, что точка Х попадет на отрезок:

A

M

N

B

а) AM; б) AN; в) MN; г) MB; д) AB.

Ответы: а) 0,2; б) 0,6; в) 0,4; г) 0,8; д) 1.

Действия над событиями

Суммой (или объединением) двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

A

B

Обозначается: A + B или A

B

A

сумма совместных событий сумма несовместных событий

Обозначим Ω - достоверное событие, - невозможное событие, тогда

A + Ω = Ω; A + = A;

A + A = A; A + B = B + A.

Произведением (или пересечением) двух событий называется событие, состоящее в одновременном наступлении этих событий.

A

B

Произведение совместных событий Произведение несовместных событий есть невозможное событие.

Произведение совместных событий обозначается A∙B или A B.

Для произведения событий выполняются следующие равенства:

A ∙ B = B ∙ A; A ∙ Ω = A; A ∙ = ; A ∙ A = A.

Разностью событий A и B называют событие C, которое означает, что происходит событие A и не происходит событие B; обозначается A – B или A\ B.

A

B