Система геодезических пространственных координат

В системе геодезических пространственных координат положении любой точки пространства можно задать тремя координатами: геодезической широтой В, геодезической долготой L и геодезической высотой НГ.

Геодезической широтой В называется острый угол, образованный нормалью Kn к поверхности эллипсоида вращения и плоскостью его экватора.

Нормалью к поверхности в заданной точке является перпендикуляр к касательной плоскости в точке К1. Геодезическая широта изменяется от 0 на экваторе до 90 градусов на полюсах. Различают северные и южные широты для соответствующих полушарий. Координатная линия равных широт называется геодезической параллелью. С геометрической точки зрения она представляет собой линию пересечения поверхности эллипсоида вращения и плоскости перпендикулярной оси Гр P1 P К О К1 В L H Г G n 9 его вращения. Все геодезические параллели - окружности разного радиуса. Если секущая плоскость будет проходить через центр эллипсоида, то будет получена параллель максимального радиуса, называемая экватором.

Геодезической долготой L называется двугранный угол, образованный плоскостями геодезических меридианов начального (Гринвича) и точки К (меридиан РК1GР1). Долгота может изменяться от 0 до 360 градусов и отсчитываться от Гринвичского меридиана на восток или изменяться от 0 до 180 градусов. В последнем случае необходимо указывать к востоку или к западу от Гринвича находится точка К. Координатная линия равных долгот является геодезическим меридианом. Геодезический меридиан это части линии пересечения поверхности эллипсоида вращения и плоскости, содержащей ось вращения и заключенная между полюсами. Все геодезические меридианы одинаковы и являются половинами эллипсов.

Геодезической высотой НГ принято называть отрезок нормали КК1 к поверхности эллипсоида вращения, заключенный между этой поверхностью и точкой К (НГ =КК1). Геодезическая высота обычно положительна, но встречаются особые случаи, когда она может быть отрицательной (например, в шахтах, карьерах и т. п.). Геодезическую высоту не следует путать с ортометрической и нормальной высотами, которые отсчитываются от начальных уровенной (геоид) или почти уровенной (квазигеоид) поверхностей соответственно. Различия между ними могут достигать десятков метров.

На территории РФ в каталогах координат пунктов и реперов хранятся нормальные высоты. Данная система координат обладает рядом достоинств:

1. Триада координат B, L, H Г однозначно определяет положение любой точки пространства.

2. Она едина для всей поверхности Земли, что позволяет объединять в общей координатной системе материалы геодезических, съемочных и картографических работ.

3. Координатными линиями в этой системе являются геодезические меридианы и параллели, относящиеся непосредственно к поверхности эллипсоида вращения. Поэтому они являются основными линиями любой картографической проекции, их используют для составления карт и объединения всех съемочных и картографических материалов в единое целое.

4. Геодезические широта и долгота определяют положение нормали к поверхности принятого эллипсоида. Это обстоятельство используется при определении составляющих уклонений отвесных линий и проведении других исследований поверхности Земли.

5. Геодезические широта и долгота точек К и К1 одинаковы, а высоты разные (НГ 1=0). Поэтому использование данной системы позволяет общую сложную задачу по определению координат разделить на две подзадачи и тем самым уменьшить размерность вектора совместно вычисляемых координат точек. Так для определения B, L (х, у) на объекте создаются плановые 10 геодезические сети, а третья координата высота вычисляется по результатам нивелирования.

Поправки в измеренные величины (редукции) за переход с физической поверхности Земли на поверхность эллипсоида вращения обычно незначительны.

Во-первых, это позволяет использовать приближенные (грубые) значения аргументов для их вычисления, а во-вторых, не учитывать такие поправки при выполнении работ невысокой точности. К недостаткам системы геодезических пространственных координат обычно относят следующее:

1. Трудности вычисления широт и долгот, так как решение прямых и обратных геодезических задач в этой системе выполняется по очень сложным громоздким формулам.

2. При использовании спутниковых технологий создания геодезических сетей поправки в результаты измерений за редукцию на поверхность эллипсоида вращения станут большими, соизмеримыми с самими измерениями. Поэтому применение геодезических пространственных координат будет не выгодным или даже невозможным.

Система пространственных прямоугольных координат

За начало координат в этой системе принимается центр эллипсоида – точка О. Ось аппликат OZ направлена вдоль полярной оси на север. Рис. 3.

Система пространственных прямоугольных координат Ось абсцисс ОХ расположена по линии пересечения плоскостей Гринвичского меридиана и экватора. Ось ординат OY совпадает с линией пересечения плоскостей геодезического меридиана с долготой 90 градусов и экватора и дополняет систему до правой. Положение любой точки пространства будет однозначно определяться тремя координатами: абсцисса равна отрезку ОК2 (Х=ОК2), ордината соответствует отрезку координатной оси ОК3 (Y=ОК3), а аппликата равна отрезку ОК4 (Z=ОК4). Достоинствами этой системы координат являются:

1. В этой системе можно однозначно определить положение любой точки пространства.

2. Для применения системы пространственных прямоугольных координат не нужно иметь поверхность относимости (поверхность эллипсоида вращения).

3. Следствием второго преимущества является то, что здесь отсутствует необходимость в редуцировании результатов полевых измерений на поверхность относимости. Поэтому эта система координат практически незаменима при математической обработке результатов спутниковых измерений.

В качестве недостатков системы пространственных прямоугольных координат можно назвать следующие:

1. Здесь нельзя уменьшить размерность задач по определению координат точек (размерность вектора координат). Имеется в виду, что необходимо сразу выполнить такое количество измерений, которое позволит вычислить три координаты определяемых точек.

2. Систему пространственных прямоугольных координат неудобно использовать в топографии, при проектировании и строительстве инженерных сооружений.

3. Основной системой для решения практических задач геодезии, топографии, землеустройства является система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера. Однако строгих формул для прямого перехода от пространственных прямоугольным к плоским прямоугольным координатам нет. Поэтому такой переход обычно осуществляется в два этапа: сначала необходимо вычислить пространственные геодезические координаты по пространственным прямоугольным координатам, а затем плоские прямоугольные координаты по геодезическим.

3. Проекция и плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера, её достоинства и недостатки

При производстве массовых топографо-геодезических работ, таких как производство топографических и кадастровых съемок, геодезическое обеспечение проектирования, строительства и эксплуатации инженерных сооружений и других применение систем пространственных прямоугольных или пространственных геодезических координат становится неудобным и обременительным. В практическом использовании наибольшее применение находит система плоских прямоугольных координат.

Однако ввод такой системы координат всегда сопряжен с отображением поверхности модели Земли (поверхности эллипсоида вращения) на плоскости по какому-либо математическому закону. Закон, связывающий геодезические координаты на поверхности эллипсоида вращения и плоские прямоугольные координаты, называется проекцией. В математической картографии существует большое количество геодезических проекций и соответствующих им систем плоских прямоугольных координат. При изображении 12 поверхности модели Земли на плоскости в любой проекции неизбежно деление ее на отдельные участки, которые принято называть зонами.

На территории России используется проекция Гаусса-Крюгера. В этой проекцией поверхность эллипсоида вращения делится на зоны геодезическими меридианами. В нашей стране установлены размеры зон в шесть и три градуса по долготе. Первые считаются основными, поэтому математическая обработка результатов измерений и оформление материалов топосъемок выполняются в шестиградусных зонах. Трехградусные зоны используются при производстве крупномасштабного картографирования (масштабов 1:5000 и крупнее) и вводе систем региональных плоских прямоугольных координат. Меридианы, проходящие посредине зон, называются осевыми.

Западный граничный меридиан первой шестиградусной зоны совпадает с Гринвичским меридианом. Осевые меридианы первой шести и первой трех градусных зон совпадают. Нумерация зон ведется на восток от Гринвича.

Долготы осевых меридианов L0 шести и трех градусных зон можно вычислить по формулам

L0 (6)=6n - 3,

L0 (3)=3n’

, где n, n’ – номера шести и трех градусных зон соответственно.

При изображении поверхности эллипсоида вращения на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера только осевые меридианы зон и экватор становятся прямыми линиями, которые принимаются за координатные оси.

Их пересечение является началом системы действительных плоских прямо- угольных координат Гаусса-Крюгера. Все остальные кривые поверхности эллипсоида вращения (граничные меридианы зон, параллели и др.) остаются на плоскости кривыми линиями. Действительными плоскими прямоугольными координатами Гаусса- Крюгера для точки К будут являться отрезки координатных осей х=О1К1=КК2, у=О1К2=КК1.

К положительным свойствам данной системы координат и проекции обычно относят:

1. Отсутствие искажений вследствие равноугольности проекции.

2. Зоны в проекции Гаусса-Крюгера совершенно одинаковые и поэтому вид применяемых формул для связи систем координат и редуцирования измеренных величин на плоскость не будут зависеть от номера зоны.

3. Пара действительных координат абсцисса х и ордината у однозначно определяет положение любой точки внутри одной зоны.

4. Применение системы плоских прямоугольных координат позволяет значительно упростить решение многих задач геодезии, топографии, землепользования. Поэтому в массовых работах она является основной.

Недостатков у проекции Гаусса-Крюгера, по мнению специалистов, два.

Во-первых, в данной системе координат возникают трудности при математической обработке результатов полевых измерений на объектах, вытянутых вдоль параллели и занимающих значительную площадь (объектах, расположенных в нескольких зонах).

Во-вторых, действительные плоские прямоугольные координаты не дают представление о том, где на поверхности земли находится точка. Она может располагаться в любой из 60 шестиградусных зон. Для того чтобы по значениям координат можно было судить о местоположении точки на Земле в каталогах координат пунктов принято помещать так называемые условные координаты Гаусса-Крюгера x’, y’. При этом действительные и условные координаты связаны соотношениями x’=x, y’=n*106 +5*105 +y.

Действительные и условные абсциссы равны. Для получения условной ординаты надо к действительной прибавить номер зоны умноженный на 106 и 500000. Перенос начала координат к востоку на 500 километров необходим для исключения отрицательных ординат.