Взаимное пересечение прямой и плоскости или поверхности (2 группа позиционных задач)

а Ç S = М

Вариант А. Прямая и плоскость являются проецирующими

а ^ P1 S ^ P2 М Î а; а ^ P1; М1 = а1; М Î S; S^ P2; М2 = а2 ÇS 2

Рисунок 6.5

Вариант В-1. Прямая общего положения пересекается с проецирующей плоскостью

а – общего положения; S ^ P1 а ÇS = М М Î а, М ÎS, S^ P1 Þ М1 = а1 ÇS 1; М Î а Þ М2 Î а2

Рисунок 6.6

Вариант В-2. Проецирующая прямая пересекается с плоскостью общего положения

а ^ P1; S (с || d) – общего положения. М Î а; М1 = а1 М Î S, поэтому через т. М проводим произвольную прямую l в плоскости S 11 = l 1 Ç с1; 21 = l1 Ç d1 M1 Î l1 (11, 21); l Î S l (1; 2) Þ M1 Î l1 (11; 21); М2 Î l2 (12, 22) или l2 Ç a2 = М2 Для определения видимости на P2 рассмотрим конкурирующие точки 3 Î с и 4 Î а. Т.к. точка 3 к нам ближе на плоскости P2 мы видим ее.

Рисунок 6.7

Вариант С. П рямая и плоскость общего положения

Не рационально использовать замену плоскостей проекций. Задача решается по общему алгоритму:

1) Вводим вспомогательную секущую плоскость Г через прямую а. Вспомогательная плоскость всегда вводится проецирующей: Г ^ P₁ (или P₂) и обязательно Г Ì а.

2) Находим линию пересечения Г с S: Г Ç S = l (1; 2).

Это 1 группа задач варианта В рассмотрена выше.

3) l (1; 2) и прямая а лежат в одной плоскости Г; l Ç а = M - искомая точка пересечения прямой а и плоскости S.

Рассмотрим задачу.

а – общего положения; S (c || d) – общего положения. а Ç S = М 1) Г ^ P2 и G Ì а 2) Г ÇS = l (1, 2) 1 = Г Ç c 2 = Г Ç d 3) l Ç а = M (l1 Ç а1 = M1; М2 Ì а2) 4) Для определения видимости необходимо рассмотреть конкурирующте точки прямой а и c или d.

Рисунок 6.8