В трубе постоянного сечения

Расчетная система уравнений одномерного потока вязкого газа без энергообмена с внешней средой включает в себя:

уравнение неразрывности

; (12.49)

уравнение состояния

; (12.50)

уравнение энергии (Бернулли)

, (12.51)

где – работа сил вязкости (потери), отнесенных к единице массы в движущемся газе.

Поскольку данное течение энергетически изолировано, температура и энтальпия торможения, а также критическая скорость постоянны ( const, const, const). С учетом этого из предыдущей системы можно получить

(12.52)

Поскольку всегда , дозвуковой поток (М < 1) под влиянием трения ускоряется ( > 0), а сверхзвуковой (М > 1) тормозится ( < 0). Непрерывный переход через скорость звука под влиянием только трения невозможен.

Соотношение между параметрами газового потока в двух сечениях трубы выражаются формулами:

; (12.53)

; (12.54)

. (12.55)

Работа сил трения на участке трубы длиной может быть приближенно выражена гидравлической зависимостью Вейсбаха-Дарси

, (12.56)

где – гидравлический коэффициент трения, зависящий от числа Рейнольдса, как и для несжимаемой жидкости; – средняя скорость; – диаметр трубы. Здесь для коэффициента трения употреблено обозначение , для отличия его от безразмерной скорости .

Используя эту зависимость, уравнение можно привести к виду

(12.57)

Полагая = const (что допустимо ввиду малого изменения числа Re по длине трубы), в результате интегрирования можно получить

, (12.58)

где – расстояние между начальным сечением 1 и расчетным сечением трубы 2. Обозначая

(12.59)

и определяя приведенную длину трубы как

, (12.60)

уравнение представляем в форме

. (12.61)

Так как при функция достигает минимума , то при заданном и достигается некоторая критическая максимальная приведенная длина трубы

(12.62)

Зависимость показана на рис. 12.5. При заданных и длине трубы критическая скорость может быть достигнута в конце трубы.

Скорость дозвукового потока на входе в трубу заданной приведенной длины не может превышать значения, определяемого уравнением

(12.63)

Если < 1 и заданное значение приведенной длины трубы , то на выходе < 1. Если же , то . При реализация заданного значения в начале трубы невозможна.

Рис. 12.5. Зависимость приведенной критической длины трубы

от начальной скорости ()

Если поток на входе в трубу сверхзвуковой ( > 1) и приведенная длина , то т.е. на выходе из трубы поток сохранится сверхзвуковым (однако ). При > 1 и . Когда при > 1 задано , в некотором сечении трубы возникает скачок уплотнения, за которым устанавливается дозвуковой ускоренный поток.

Положение скачка, предполагая его прямым, определяем следующим образом. Скорости перед скачком и за ним связаны формулой Прандтля

В то же время связана с координатой скачка уравнением

(12.64)

С учетом того, что , можно написать

, (12.65)

где – приведенная длина трубы, откуда

(12.66)

Решая совместно два последних уравнения, находим и .

Для обеспечения заданного значения на входе в трубу заданной приведенной длины требуется вполне определенный перепад давлений между входным и выходным сечениями.

Если – полное давление во входном сечении, а – давление в среде, в которую газ вытекает из трубы, то значение , называемое располагаемым отношением давлений, будет определять массовый расход и другие параметры газа в данной трубе. Если на выходе из трубы устанавливается критическая скорость ( = 1), то соответствующее отношение давлений называется критическим:

(12.67)

При заданном располагаемом отношении давлений расчет истечений через трубу заданных размеров производят по следующей схеме. Выражая расход во входном сечении через полное давление в выходном сечении через статическое давление, получаем

(12.68)

Ввиду адиабатности течения и, следовательно,

(12.69)

Если , то или

(12.70)

Скорости и связаны уравнением

(12.71)

Отсюда находятся скорости и как функции заданных величин и . Приведенные уравнения справедливы при . Минимальное значение , при котором , определяют по уравнению

(12.71)

При значениях на выходе из трубы

и (12.72)