Анализ размерностей

Иногда приходится изучать процессы, которые еще не описаны дифференциальными уравнениями. Единственный путь изучения – эксперимент. Результаты эксперимента целесообразно представлять в обобщенной форме, но для этого нужно уметь находить безразмерные комплексы, характерные для такого процесса

Анализ размерностей – это метод составления безразмерных комплексов в условиях, когда изучаемый процесс еще не описан дифференциальными уравнениями.

Все физические величины можно разделить на первичные и вторичные. Для процессов теплообмена за первичные обычно выбирают следующие: длину L, массу m, время t, количество теплоты Q, избыточную температуру . Тогда вторичными будут такие величины, как коэффициент теплоотдачи , температуропроводность a и т. п.

Формулы размерности вторичных величин имеют вид степенных одночленов. Например, формула размерности для коэффициента теплоотдачи имеет вид

(9.5)

где Q – количество теплоты.

Пусть известны все физические величины, существенные для изучаемого процесса. Требуется найти безразмерные комплексы.

Составим произведение из формул размерностей всех существенных для процесса физических величин в некоторых неопределенных пока степенях; очевидно, оно будет степенным одночленом (для процесса). Предположим, что его размерность (степенного одночлена) равна нулю, т. е. показатели степеней первичных величин, входящих в формулу размерностей, сократились, тогда степенной одночлен (для процесса) можно представить в форме произведения безразмерных комплексов из размерных величин. Значит, если составить произведение из формул размерностей, существенных для процессов физических величин в неопределенных степенях, то из условия равенства нулю суммы показателей степеней первичных величин этого степенного одночлена можно определить искомые безразмерные комплексы.

Покажем эту операцию на примере периодического процесса теплопроводности в твердом теле, омываемом жидким теплоносителем. Будем считать, что дифференциальные уравнения для рассматриваемого процесса неизвестны. Требуется найти безразмерные комплексы.

Существенными физическими величинами для изучаемого процесса будут следующие: характерный размер l (м), теплопроводность твердого тела , (Дж/(м К)), удельная теплоемкость твердого тела с (Дж/(кг К)), плотность твердого тела (кг/м³), коэффициент теплообмена (теплоотдачи) (Дж/м² К)), время периода , (с), характерная избыточная температура (К). Составим из этих величин степенной одночлен вида

(9.6)

Показатель степени при первичной величине называется размерностью вторичной величины по отношению к данной первичной.

Заменим физические величины (кроме Q) их формулами размерности, в результате получим

(9.7)

В данном случае показатели степени имеют значения, при которых Q выпадает из уравнения.

Приравняем нулю показатели степеней одночлена:

для длины

a – b – 3 i – 2 k = 0; (9.8)

для количества теплоты Q

0; (9.9)

для времени

= 0; (9.10)

для температуры

0; (9.11)

для массы m

0. (9.12)

Всего существенных величин семь, уравнений для определения показателей пять, значит, только два показателя, например b и k, могут быть выбраны произвольно.

Выразим все показатели степеней через b и k. В результате получим из выражений:

(9.8), (9.9), (9.12)

; (9.13)

(9.9)

f = – b – k; (9.14)

(9.10)

r = b + k; (9.15)

(9.11) и (9.9)

n = b + f + k = b + (– b – k) + k = 0; (9.16)

(9.12) и (9.9)

i = f = – b – k. (9.17)

Теперь одночлен можно представить в форме

(9.18)

Так как показатели b и k могут быть выбраны произвольно, положим:

1) , , при этом запишем

, (9.19)

откуда

, (9.20)

обозначим ;

2) b = 0, k = 1, при этом запишем

(9.21)

обозначим

. (9.22)

Найдем отношение

(9.23)

Итак, методом анализа размерностей найдены безразмерные комплексы. В рассматриваемом случае ими оказались числа подобия Фурье и Био .

Введем безразмерные – искомую переменную и независимую переменную (одномерный случай). Тогда искомую обобщенную зависимость можно представить в форме

. (9.24)

Правильность полученного результата подтверждает так называемая -теорема Бэкингема, которая формулируется так: число безразмерных комплексов равно числу физических величин, существенных для процесса, минус число первичных величин.

Вопросы для самопроверки:

1. В чем сущность метода аналогий?

2. В чем сущность метода анализа размерностей? Сформулируйте π-теорему.

3. Какие критерии гидродинамического подобия Вам известны?

ЛЕКЦИЯ 10. РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ СРЕДЫ.

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ