Методы Лагранжа и Эйлера

Описание законов движения может быть выполнено по методу Ж. Л. Лагранжа и Л. Эйлера.

Метод Лагранжа предполагает наблюдение за отдельными материальными объектами – частицами жидкости при их перемещении в пространстве. Итог наблюдений за конкретной частицей с начальными координатами , , (рис. 3.2) при перемещении за время является след , называемый траекторией.

Система функций геометрического характера

;

; (3.7)

,

описывающих траекторию частиц, позволяет найти кинематические характеристики путем дифференцирования:

; ; , (3.8)

а также вторые производные – ускорения:

; ; . (3.9)

Рис. 3.2. Характер движения жидкости

Метод Эйлера задает поле скоростей в рассматриваемой области движения жидкости. Полное описание задано, если скорости и давления определены в виде

;

;

; (3.10)

.

Линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости направлен по касательной к ней, называется линией тока. Это основное понятие метода Эйлера. В случае неустановившегося движения в следующий момент движения через ту же точку будет проходить другая линия тока (рис. 3.3, а).

Так как вектор с компонентами , , с элементами с проекциями , , на оси координат, то из условия параллельности векторов следует пропорциональность их проекций:

(3.11)

Рис. 3.3. Линия тока (а) и линии завихренности (б)

В случае установившегося движения линия тока сохраняет свое положение в пространстве и совпадает с траекторией.

Каждая частица вращается с угловой скоростью . Линия, во всех точках которой направление векторов совпадает с касательной к ней, является вихревой линией.

Из того, что вектор с компонентами , , совпадает по направлению с элементом длины вихревой линии , имеющим компоненты , , , то уравнение вихревой линии имеет вид (рис. 3.3, б)

. (3.12)

Линии тока могут совпадать с линиями завихренности. Такое движение называется винтовым и определяется следующим образом:

. (3.13)

Совокупность линий тока, проходящих через точки бесконечно малого замкнутого контура , образует элементарную трубку тока (рис. 3.4, а).

Рис. 3.4. Трубка тока (а) и вихревая трубка (б)

Аналогичное образование в поле угловых скоростей называется вихревой трубкой.

Пучок линий тока, проходящих через все точки площадки , ограниченной контуром называется элементарной струйкой.

Объем жидкости, проходящей через поперечное сечение 1 за время , должен равняться объему жидкости, прошедшему через любое сечение 2 за то же время в случае несжимаемой среды.