Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода

Рассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний аль­тернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений [2].

Сущность метода, на основе которого реализована компьютер­ная система, заключается в следующем. Пусть U — множество элементов, А — его нечеткое подмножество, степень принадлеж­ности элементов к которому есть число из единичного интервала [0, 1]. Подмножества A_j являются значениями лингвистической пе­ременной X.

Допустим, что множество решений характеризуется набором критериев х₁, х₂,..., x_p, т.е. лингвистических переменных, задан­ных на базовых множествах и₁, и₂,.... u_p соответственно. Напри­мер, переменная х₁ "качество управления" может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная х₂ "стоимость" — значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значе­ниями характеризует представления лица, принимающего реше­ние, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S "удов­летворительность" также является лингвистической. Ниже приве­ден пример высказывания:

d₁: "Если x₁ = НИЗКОЕ и x₂ = ХОРОШЕЕ, то S = ВЫСОКАЯ". В общем случае высказывание d₁ имеет вид:

d₁: "Если x₁ = А₁, и x₂ = А_2i и... х_р = А_рi то S = В_i". (4.1)

Обозначим пересечение (x₁ = А_1i Ç x₂ = А_2i Ç... х_р = А_рi) через х = А_i. Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:

Здесь V= U₁ ´ U ₂ ´... U_p; v = (u₁, и₂..., u_p); m_Aij (u_j) —значениепринадлежности элементаи, нечеткому множеству А_ij.

Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде:

Для придания общности суждениям обозначим базовые мно­жества U и V через W. Тогда А_i — нечеткое подмножество W, в то время как В_i — нечеткое подмножество единичного интервала I.

Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализа­ции [4]. Нечеткая импликация Лукасевича имеет вид:

где Н — нечеткое подмножество на W ´ I, w Î W, i Î I.

Аналогичным образом высказывания d₁, d₂,..., d_q преобразуют­ся в множества Н₁, Н₂,..., Н_q. Их пересечением является множе­ство D:

D = H₁ Ç H₂ Ç... Ç Н_q

и для каждого (w, i) Î W ´ I

Удовлетворительность альтернативы, которая описывается не­четким подмножеством А из W, определяется на основе компози­ционного правила вывода:

G = А ° D,

где G — нечеткое подмножество интервала I.

Тогда

Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества С Ì I определяем a-уровневое множество (a Î [0, 1]):

С_a= {i | m_c (i) ³ a Î I }.

Для каждого С_a можно вычислить среднее число элементов — М(С_a):

для множества из п элементов

для С_a={ a£ i £ b }

при 0 £ a₁ £ b₁ £ а₂ £ b₂ £...£ а_n £ b_n £ 1.

Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде:

где a_max — максимальное значение в множестве С.

При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлет­ворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.

[1] Вильфредо Парето (1848-1923) – итальянский социолог и экономист.