Вычисление моментов инерции относительно осей параллельных центральным

Рис. 1.14

Оси параллельны центральным осям , . Для произвольной точки имеем: ; . Тогда

.

Таким образом, имеем . Так как ось центральная (), то окончательно получим . Проводя аналогичные выкладки, получим:

(1.13)

Для полярного момента инерции имеем

.

(1.14)

Пример 1.5 Определить центробежный момент инерции прямоугольного треугольника относительно центральных осей , (рис.1.15).

Определим сначала , а затем с помощью формул (1.13) найдем . Воспользуемся формулой (1.12). В данном случае уравнение прямой . Отрезок интегрирования , . Площадь . .

Рис. 1.15

После подстановки получим . Из формулы (1.13) имеем

Пример 1.6 Определить полярный и моменты инерции круга,

полукруга, четверти круга относительно центральных осей, центробежный момент инерции (рис.1.16).

Рис. 1.16 К примеру 1.6

Сначала определим полярный момент инерции, а затем, учитывая равенство (1.10) и то, что найдем .

Разобьем круг на бесконечно тонкие кольца толщиной радиусом ; площадь такого кольца . Далее суммируем элементарные полярные моменты вдоль радиуса, получим .

Окончательно .

Таким образом, для круга .

Для полукруга (рис. 1.17,б) .

Для четверти круга (рис. 1.17,а) .

Рис. 1.17 К определению моментов инерции

Определим сначала центробежный момент инерции для четверти круга (рис.1.16,а). Воспользуемся формулой (1.12). В данном случае уравнение . Отрезок интегрирования , .

.

Используем формулу (1.13)

Относительно центральной оси

.

В табл. 1 для простых фигур представлены значения осевых и центробежного моментов инерции относительно собственных центральных осей.

Таблица 1

Пример 1.7 Вычислим значения осевых и центробежного моментов сложной фигуры рис.1.17

Координаты центров тяжести прямоугольника и треугольника относительно центральных осей сложной фигуры были вычислены примере 1.4:

; ; ; .

Вычислим значения осевых и центробежного моментов сложной фигуры, используя формулы табл.1 и теорему о параллельном переносе осей (формулы (1.13)):

Рис. 1.17 К вычислению моментов инерции

Имеем: ; ; .