Задание 6. Построить точечный и интервальный прогноз производства 1т цемента на два шага вперед

Задача стр 7

Рис.9. Линейное программирование задания

Пример 4. Решить задачу линейного программирования симплексным методом:

Найти наибольшее значение функции f(x)=3x+2x² при ограничениях:

x

Приведем эту задачу к каноническому виду, введя дополнительные переменные x ,x , со знаком « +» для ограничения «≤» и со знаком «–«для ограничения «≥».

Предварительный анализ показал, что в базис выводится только x , а при выводе других переменных значения свободных членов становятся отрицательными, что не допускается.Тогда для 2-го и 3-го уравнений введем искусственные переменные y и y , которые в дальнейшем будем использовать как базисные переменные.С этой целью введем эти переменные и в целевую функцию:

max f( =3x +2x +0x -M(y +y ),

где М- достаточно большое положительное число

Дальнейшее решение приводим в симплекс-таблицах

Таблица 2.7

Расчетные данные

№симпл табл.	базис	Сj	План В						-М	-М	Q
Сi	A1	A2	A3	A4	A5	P1	P2
	A3 ←P1 P2	-M -M			-1		-1	-1			5\2
∆j=zj-cj	F = -19M	-3M-3	-2M-2		M	M
|	A3 →A1 ←P2	-M	17\2 5\2 23\2		5\2 -1\2 7\2		1\2 -1\2 1\2	-1			17\5   23\7
∆j=zj-cj	F = 7,5-11,5M		-3,5-3,5M		-3\2-1\2M	M
||	←A3 A1 →A2		2\7 29\7 23\7				1\7 -3\7 1\7	5\7 -1\7 -2\7
∆j=zj-cj	F = 19				-1	-1
	→A4 A1 A2					-1		-1
∆j=zj-cj	F = 21

x , x , x , x =0

Задача обладает исходным опорным планом:(0;0;11;0;0;5;14)

F()=0*11+(-M)*5+(-M)*14=-19M

∆ =0*1+(-М)*2+(-М)*1-3=-3М-3

∆ =0*2+(-М)*(-1)+(-М)*3-2=-2М-2

∆ =0*1+(-М)*0+(-М)*0-0=0

∆ =0*0+(-М)*(-1)+(-М)*0-0=М

∆ =0*0+(-М)*0+(-М)*(-1)-0=М

∆ =0*0+(-М)*1+(-М)*0-(-М)=0

∆ =0*0+(-М)*0+(-М)*1-(-М)=0

Q=min(

Исходный опорный план не является оптимальным планом, так как среди оценок ∆ имеются отрицательные оценки. В начальной таблице наименьшее ∆ соответствует вектору А - он вводится в базис, а искусственный вектор P из базиса выводится, так как ему отвечает наименьшее Q = 5\2. Столбец, соответствующий P , из дальнейших симплексных таблиц вычеркивается.

x =0

Таблица |:

Опорный план:(5\2;0;17\2;0;0;23\3)

F()=0*17\2+3*5\2+(-M)*23\2=7,5-11,5M

∆ =0*0+3*1+(-М)*0-3=0

∆ =0*5\2+3*(-1\2)+(-М)*7\2-2=3,5-3,5М

∆ =0*1+3*0+(-М)*0-0=0

∆ =0*1\2+3*(-1\2)+(-М)*1\2-0=-3\2-1\2М

∆ =0*0+3*0+(-М)*(-1)-0=М

∆ =0*0+3*0+(-М)*1-(-М)=0

Q= min(

Опорный план таблицы 1не является оптимальным планом, так как среди оценок ∆ имеются отрицательные оценки. В таблице 1 наименьшее ∆ соответствует вектору А - он вводится в базис, а искусственный вектор P из базиса выводится, так как ему отвечает наименьшее Q = 23\7. Столбец, соответствующий P , из дальнейших симплексных таблиц вычеркивается.

x =0

Таблица 2:

Опорный план: (29\7;23\2;2\7;0;0)

F()=0*2\7+3*29\7+2*23\7=133\7=19

∆ =0*0+3*1+2*0-3=0

∆ =0*0+3*0+2*1-2=0

∆ =0*1+3*0+2*0-0=0

∆ =0*1\7+3*(-3\7)+2*1\7-0=-1

∆ =0*5\7+3*(-1\7)+2*(-2\7)-0=-1

Q= min(

Опорный план таблицы 2 не является оптимальным планом, наименьшее ∆ соответствует вектору А и А . Сначала выбираем вектор А - он вводится в базис, а вектор А из базиса выводится, так как ему отвечает наименьшее Q = 2.

x =0

Таблица 3:

Опорный план:(5;3;0;2;0)

F()=0*2+3*5+2*3=21

∆ =0*0+3*1+2*0-3=0

∆ =0*0+3*0+2*1-2=0

∆ =0*7+3*3+2*(-1)-0=7

∆ =0*1+3*0+2*0-0=0

∆ =0*5+3*2+2*(-1)-0=4

Опорный план таблицы 3 является оптимальным планом для исходной задачи. Для него все ∆ ≥ 0,поэтому он является оптимальным. Таким образом, получен оптимальный план исходной задачи (5;3), и максимальное значение целевой функции f( =21.

Пример 5. Предприятие «Кронос» занимается производством резиновых изделий. В будущем году оно хотело бы расширить ассортимент своей продукции и производить резиновые прокладки для смесителей воды. Для этого необходимо провести исследование спроса на данный вид продукции.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Простейшей моделью (формулой), выражающей тенденцию развития является

линейная функция – прямая

у_t = а₀ + а₁∙t,

где y_t - теоретические уровни,

а₀ и а₁ – параметры прямой,

t – показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д.).

Для нахождения параметров а₀ и а₁ необходимо решить систему нормальных уравнений

а₀∙n + a₁∑t = ∑y,

a₀∑t + a₁∑t² = ∑yt,

где у – фактические уровни ряда динамики,

n – число уровней.

Для упрощения расчётов обозначим время так, чтобы начало его отсчёта приходилось на середину рассматриваемого периода.

Представим это в таблице.

Таблица 2.8

Расчётные данные для определения параметров системы нормальных уравнений и выравненных теоретических значений.

Так как ∑t = 0, то система нормальных уравнений примет вид

а₀∙n = ∑у,

а₁∑t² = ∑yt.

Отсюда

∑у ∑уt

а₀ = ——; а₁ = ————

n ∑t²

12 661 6009

а₀ = ———— = 2532,2руб. а₁ = ———— = 600,9руб.

5 10

Уравнение прямой будет иметь вид

у_t = 2532,2 + 600,9∙t

Подставив в это уравнение значение t (таблица 2, графа 3), получим выровненные теоретические значения (таблица 2, графа 6).

_

у_t1 = 2532,2 + 600,9∙(-2) = 1330,4руб.

_

у_t2 = 2532,2 + 600,9∙(-1) = 1931,3руб.

_

у_t3 = 2532,2 + 600,9∙0 = 2532,2руб.

_

у_t4 = 2532,2 + 600,9∙1 = 3133,1руб.

_

у_t5 = 2532,2 + 600,9∙2 = 3734руб.

Полученное уравнение показывает, что, несмотря на колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения объема спроса на резиновые прокладки для смесителей воды: с первого по пятый годы спрос увеличивался в среднем на 600,9 рублей в год. Поэтому можно предположить, что в ближайшем году спрос увеличится на 600,9 рублей.

Динамику спроса можно представить в графическом виде.

- выравненные уровни спроса

- эмпирические уровни спроса

Рис.10. Линейное программирование задачи