А – чертеж, б – полная развертка поверхности

Развертки поверхностей геометрических тел

Разверткой поверхности геометрического тела называется плоская фигура, которая получается в результате совмещения всех граней или всех поверхностей, ограничивающих тело, с одной плоскостью. Поверхности некоторых геометрических тел криволинейной формы, например шара и других поверхностей вращения, нельзя развернуть в одну плоскость. Для развертки таких поверхностей используют способы приближенной развертки.

Построим развертки поверхностей некоторых геометрических тел.

Развертка призмы. На рис.1,а изображена правильная прямая трехгранная призма. Боковая поверхность призмы состоит из трех равных прямоугольников, ширина и высота которых известны. Основания призмы проецируются на горизонтальную плоскость проекций в истинную величину.

Построим развертку боковой поверхности призмы (рис.1,б). Для этого вдоль горизонтальной прямой отложим три отрезка, равных стороне основания призмы А₁В₁ = B₁С₁ = C₁A₁. Из точек А₁В₁С₁ и А₁ проведем вертикальные прямые, равные высоте призмы. Через полученные точки проведем горизонтальную прямую. Полученная фигура — прямоугольник, состоящий из трех прямоугольников, которые равны граням призмы, будет разверткой ее боковой поверхности. Совместим два основания призмы — равносторонние треугольники — с разверткой боковой поверхности призмы. Пользуясь размером L, взятым с горизонтальной проекции призмы, и линией связи, построим на развертке точку Е,принадлежащую, грани A А₁B В₁,.

Рис.1 Развертка поверхности призмы:

а – чертеж, б – полная развертка поверхности

Развертка пирамиды. Построим развертку боковой поверхности правильной прямой трехгранной пирамиды, изображенной на рис.2,а, с точкой Е на грани ASC. Основание пирамиды проецируется на горизонтальную плоскость проекций в истинную величину. Боковая поверхность пирамиды состоит из трех равных равнобедренных треугольников. Для построения треугольников определим размеры их сторон. Основание равнобедренного треугольника равно стороне основания пирамиды. Две другие равные стороны треугольника равны боковым ребрам пирамиды, которые проецируются на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций с искажением. Чтобы определить действительный размер ребра, повернем ребро AS вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину S пирамиды, до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Точка S остается неподвижной, а точки А и N на горизонтальной проекции переместятся по дугам горизонтальных окружностей, которые на фронтальной проекции спроецируются горизонтальными отрезками. Горизонтальные проекции этих точек займут положения а₁ и n₁. Фронтальная проекция ребра s'a₁=L будет натуральной величиной ребра пирамиды.

Имея все необходимые данные, можно приступить к построению развертки пирамиды. Из точки S (рис.2, б) проведем дугу окружности радиусом, равным длине бокового ребра пирамиды s'a₁=L, и на этой дуге отложим три отрезка, равные стороне основания пирамиды. Полученные точки В, А, С, В последовательно соединим прямыми между собой и с точкой S, это и будет развертка боковой поверхности пирамиды. На одной из сторон, например стороне АС, построим равносторонний треугольник, равный основанию пирамиды.

Положение точки Е на развертке определяют, откладывая на прямой AS отрезок l₁, взятый с фронтальной проекции пирамиды. Из полученной точки N проведем прямую NM, параллельную основанию АС треугольника, и отложим на ней отрезок l, взятый с горизонтальной проекции.

Рис.2 Развертка поверхности пирамиды: