Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой

1. Пусть в афинной СК, заданной репером R = {O, (e, e)}

Ax + By + С = 0 (1)

A² + B² ¹ 0 (2)

Покажем, что а (В, - А) – это направляющий вектор прямой е.

M₀(x₀, y₀) Ï l Þ Ax₀ + By₀ + С = 0 (3)

Вычитая из (1), (3), получим:

A(x – x₀) + B(y - y₀) = 0

A(x – x₀) = - B(y - y₀)

(4)

- направляющий вектор

Геометрический смысл В и А следующий:

1) вектор а (В,-А) – направляющий вектор прямой

2) коэффициент С геометрического смысла не имеет, т.к. умножая обе части уравнения (1) на l, мы получим уравнение равносильное исходному, но с другими свободными членами.

Геометрический смысл имеет только равно или не равно нулю коэффициента С

С = 0, : Ax + By = 0 Þ O (0, 0) Î

С ¹ 0, Þ О (0, 0) Ï

Т.о. если в общем уравнении С = 0, то прямая проходит начало к-т, если С ¹ 0, то прямая не проходит через начало к-т.

2. Пусть задана общим уравнением относительно ДПСК.

R= {O, (i, j)}, n (A, B) ^

Вектор n называется нормальным вектором прямой.

Т.о., если прямая задана общим уравнением в ДПСК, то n(А,В) – нормальный вектор прямой.

Перепишем общее уравнение прямой, заданной в ДПСК в виде:

K= условный коэффициент; b = ; тогда y = kx + b

Покажем, что k = tg - угол наклона прямой к оси Ox

B (o, b)

tg

Лекция 10

Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости. Геометрический смысл знака многочлена Ax + By + C

1. Геометрический смысл знака многочлена Ax + By + C.

Пусть дан многочлен 1-ой степени

P(x, y) = Ax + By +С, где A² + B² = 0

R = {O, (e, e)} – афинная СК

Тогда фигура Ф₁ = { M(x, y)| Ax + By + С = 0 } – прямая линия

Для точек вне прямой многочлен (p(x, y) ¹ 0) и поэтому имеет определенный знак для точек не лежащих на прямой.

Выясним какой геометрический смысл имеет знак многочлена.

Рассмотрим вектор b(A, B)

Покажем, что b ||

Предположим, что b || Þ b || a (B, A)

|| (a – напр. Вектор прямой e) Þ

Þ - что противоречит тому, сто многочлен 1 степени, т.е. А² + B² ¹ 0

Пусть M(x, y) – произвольная точка, не принадлежащая , т.е. M (x, y) Ï

(1)

(2)

Отметим, что t > 0 Û M₁M ­­ b

t < 0 Û M₁M ­¯ b

(3)

p(M) = p(x, y) = Ax + By + С = A(x₁ + At) + B(y₁ + Bt) + С =

= (A² + B²) t + (Ax₁ + By₁ + С) = (A² + B²) t

Т.о. мы получим, что

p(M) = p(x, y) = (A² + B²) t Þ,, знак p(x, y) совпадает со знаком t’’ (4)

Из (3), (4) Þ p(x, y) > 0 Û,, т.М лежит в той полуплоскости, относительно прямой , в которой лежит вектор b’’

p(x, y) < 0 Û т.М лежит с вектором b в разных полуплоскостях относительно прямой ’’

Ф₂ = {M (x, y) | Ax + By + С > 0 } = L⁺

L⁺ - полуплоскость, содержащая вектор b

Ф₃ = {M (x, y) | Ax + By + С < 0 } = L^-

L^- - полуплоскость, не содержащая вектор b

Геометрический смысл знака многочлена 1-ой степени используется при решении задач на пересечение отрезков и прямых

Пример:

R = {O, (e, e)} p(x, y) = x + 2y + 3

p(M₁) = p(1,2) = 1+2 2-3 = 2 > 0 Þ

M₁(1, 2); M₂ (3, 4) Þ M₁Î L⁺

^{____________________________________} p(M₂) = p(3,4) = 3+2 4-3 = 8 > 0 Þ

Установить: Ç [M₁M₂] -? Þ M₂Î L⁺

Þ ^ [M₁M₂] = 0