Сравнение двух дисперсий. Распределение Фишера

При обработке результатов измерений часто бывает необходимым сравнить две или несколько выборочных дисперсий. Основная гипотеза, которая при этом проверяется, следующая: можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии? Рассмотрим две выборки

х ₁¢, х ₂¢, …, и х ₁¢¢, х ₂¢¢, …, ,

средние значения которых равны и . Выборочные дисперсии определяются со степенями свободы f ₁ = n ₁ – 1 и f ₂ = n ₂ – 1:

. (5.26)

Требуется выяснить, являются ли выборочные дисперсии и значимо различными или же полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.

Допустим, что первая выборка была взята из генеральной совокупности с дисперсией , а вторая — из генеральной совокупности с дисперсией . Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий Н ₀: = . Чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно доказать значимость различия между и при выбранном уровне значимости р.

В качестве критерия значимости обычно используется критерий Фишера. Распределением Фишера (F -распределением, v ²-распределе-нием) называется распределение случайной величины

. (5.27)

Плотность F -распределения определяется выражением

j (F) , (5.28)

где Г (f ) — гамма-функция. Распределение Фишера зависит только от числа степеней свободы f ₁ и f ₂. На рис. 16 приведены кривые плотности вероятности F ‑распределения для некоторых значений f ₁ и f ₂. Кривые имеют асимметричную форму.

Рис. 16. Плотность F -распределения.

В приложении 5 приведены квантили F _{1- p} (критерии Фишера) для уровня значимости р = 0,05. Для определения квантилей F_р используется соотношение

. (5.29)

В условиях нулевой гипотезы = и / = 1 и, следовательно, F -распределение может быть непосредственно использовано для оценки отношения / . При доверительной вероятности (1 – р) двусторонняя оценка величины F имеет вид

(5.30)

или с учетом (5.29)

. (5.31)

В условиях нулевой гипотезы и, следовательно, с вероятностью (1 – р) должно выполняться двустороннее неравенство

(5.32)

или одно из односторонних неравенств, например, для оценки сверху:

. (5.33)

Вероятность неравенств, противоположных (5.32) – (5.33), равна уровню значимости р; они образуют критическую область для нулевой гипотезы. Если полученное дисперсионное отношение попадает в критическую область, то различие между дисперсиями значимо. Для удобства будем обозначать большую дисперсию через .

При проверке нулевой гипотезы = односторонний критерий применяется, если альтернативной гипотезой является > , т. е. что большей выборочной дисперсии заведомо не может соответствовать меньшая генеральная. При этом различие между дисперсиями согласно (5.33) следует считать значимым, если

. (5.34)

Значения F _{1- p} ( f ₁, f ₂) для р = 0,05 приведены в приложении 5.

Двусторонний критерий значимости применяется для альтернативной гипотезы ¹ , т. е. когда соотношение между генеральными дисперсиями неизвестно. При этом в неравенстве (5.32) необходимо проверять только правую часть, так как левая часть всегда выполняется по условию

, а

при небольших р. При этом различие между дисперсиями следует считать значимым, если

. (5.35)

Критерий Фишера используется для сравнения дисперсий и в том случае, когда одна из дисперсий является генеральной (ее число степеней свободы считается равным ¥).