Распределение Стъюдента

При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (выражения 4.6 – 4.8). Однако значение s² нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии s ². Ошибка от этой замены будет тем меньше, чем больше объем выборки n. На практике эту погрешность не учитывают при n £ 50 и в формуле (4.7) для доверительного интервала генеральный параметр s заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем примем, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение.

При небольших объемах выборок для построения доверительного интервала математического ожидания используют распределение Стъюдента, или t-распределение. Распределение Стъюдента имеет величина t

(4.11)

с плотностью вероятности

j (t) = , (4.12)

где Г (f ) — гамма-функция Эйлера:

; (4.13)

f — число степеней свободы выборки. Если дисперсия s ² и среднее определяются по одной и той же выборке, то f = n – 1.

Распределение Стъюдента зависит только от числа степеней свободы f, с которым определена выборочная дисперсия. На рис. 14 приведены графики плотности t -распределения для нескольких чисел свободы f и нормальная кривая.

Рис. 14. Плотность распределения Стъюдента.

Кривые t ‑распределения по своей форме напоминают нормальную кривую, но при малых f они медленнее сближаются с осью абсцисс при . При , поэтому распределение Стъюдента сближается (в пределе соответствует) с нормальным распределением.

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (t_{p /2}; t _{1- p /2}), определяется выражением

. (4.14)

Распределение Стъюдента симметрично относительно нуля, поэтому

. (4.15)

Учитывая симметрию t -распределения, часто пользуются обозначением t_p (f ), где f — число степеней свободы, р — уровень значимости, т. е. вероятность того, что t находится за пределами интервала (t_{p /2}; t _{1- p /2}). Подставляя в (4.14) выражение для t (4.11) с учетом (4.15), получаем неравенство

, (4.16)

и после преобразований имеем

. (4.17)

Значения квантилей t _{1- p /2} для различных чисел степеней свободы f и уровней значимости р приведены в приложении 3. Выражение (4.17) означает, что интервал с доверительными границами

(4.18)

накрывает с вероятностью b генеральное среднее измеряемой величины. Величина доверительного интервала (4.18) определяет надежность среднего выборки. Величину

, (4.19)

т. е. половину доверительного интервала, называют случайной ошибкой. С учетом только случайной ошибки результат измерений некоторой величины следует записывать так:

. (4.20)