Понятие группы

Определение. Множество G называется группой по отношению к заданной операции, если любым двум его элементам и поставлен в соответствие третий элемент этого же множества, называемый произведением и обозначаемый , и если выполняются следующие условия:

(1) ;

(2) существует элемент e, такой, что для любого ;

(3) для каждого x существует элемент , такой, что .

Если, кроме того, , то группа называется коммутативной или абелевой.

К группам относятся:

(1) Множество вещественных чисел относительно операции сложения образует группу, где e – число 0.

(2) Множество положительных вещественных чисел относительно операции умножения, где e – число 1.

(3) Множество поворотов плоскости вокруг фиксированной точки относительно операции композиции.

(4) Множество аффинных преобразований плоскости относительно операции композиции.