Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Вводимое в курсе математического анализа понятие функции (как правила, устанавливающего однозначное соответствие между числом, принадлежащим области определения, и числом, принадлежащим множеству значений) может быть обобщено на случай, когда область определения и область значений не являются числовыми множествами.
Определение. Будем говорить, что задан оператор A, действующий на множестве M со значениями в множестве N, если указано правило, по которому каждому элементу множества M поставлен в соответствие единственный элемент из множества N.
Символически результат действия оператора A обозначается так: . Элемент y в этом случае называется образом элемента x, элемент x – прообразом элемента y.
Определение. Если N – область значений некоторого оператора – является числовым множеством, то говорят, что на множестве M задан функционал.
Функционалы обычно обозначаются так же, как и функции: например, .
Пример 1. Если каждому вектору в пространстве поставлен в соответствие вектор , являющийся ортогональной проекцией вектора на некоторую ось l, то говорят, что в пространстве задан оператор ортогонального проектирования векторов на ось l. Символически оператор можно записать .
Пример 2. Каждой дифференцируемой на интервале функции можно поставить в однозначное соответствие – ее производную функцию, поэтому можно говорить об операторе дифференцирования , символически обозначаемом как .
Пример 3. Каждому вектору в пространстве можно поставить в однозначное соответствие число – его длину. Очевидно, что данная зависимость является функционалом, заданным на множестве векторов.
Пример 4. Для каждой непрерывной на функции существует однозначно вычисляемый определенный интеграл , который можно рассматривать как функционал на множестве функций, непрерывных на .
Определение. Оператором A, отображающим плоскость (или просто отображением плоскости) P на плоскость Q, называется правило, по которому каждой точке плоскости P поставлена в соответствие единственная точка плоскости Q.
Отображение плоскости принято обозначать следующим образом: . Если точка m плоскости P отображается в точку плоскости Q, то это представляется как , при этом точка является образом точки m, а точка m – прообразом точки .
Определение. Отображение называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости Q имеет прообраз и притом единственный.
Определение. Отображение плоскости P в саму себяназывается преобразованием плоскости P.
Определение. Последовательное выполнение преобразований и называется произведением (или композицией) этих преобразований.
Произведение операторов записывается в виде . Заметим, что в общем случае это произведение не коммутативно, но ассоциативно.
Определение. Преобразованием, обратным взаимно однозначному преобразованию , называется оператор , такой, что для каждой точки m плоскости P имеет место
.
Определение. Точка плоскости P, переводимая преобразованием сама в себя, называется неподвижной точкой для оператора .
Множество точек плоскости P, переводимое преобразованием (оператором) само в себя, называется инвариантным множеством преобразования .
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 220 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!