Замечание. Если в условие (1) теоремы Ляпунова изменить знаки неравенства на противоположные, то функция Ляпунова будет называться определенно-отрицательной

Если рассматривать функцию V, зависящую только от аргументов x, то мы ее можем определить в виде , тогда при , она будет определенно положительной, а при , определенно отрицательной.

Пример: исследовать на устойчивость точку x=0, y=0.

Система:

Тривиальное решение А(0,0): x=0, Y=0.

, где - некоторые коэффициенты.

Точка А(0,0) устойчива.

Следствие 1 из теоремы. При выполнении условий теоремы Ляпунова, все решения системы (1) с достаточно малыми по норме начальными значениями бесконечно продолжаемы вправо и ограничены на полуоси .

Следствие 2. Если для линейной однородной системы (1), где матрица А(t) принадлежит пространству непрерывных функций, определенных на , существует положительно определенная функция , для которой , то все решения этой системы определены и ограничены на полуоси .

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть существует дифференцируемая функция Ляпунова , которая в h окрестности начала координат удовлетворяет условиям:

1.) определенно-положительная, то есть , где непрерывная функция аргументов , равная нулю только в начале координат;

2.) определенно-отрицательная, то есть , функция обращается в ноль только в начале координат;