![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В этом пункте укажем базисы и размерности наиболее часто встречающихся линейных пространств, введенных в пункте 2. Для каждого конечномерного линейного пространства обычно определяют так называемый элементарный (стандартный) базис (наиболее простой и удобный при решении задач). Также дадим критерии проверки того, при каком условии заданная система векторов является базисом линейного пространства.
1) Линейное пространство . Элементарным базисом
в
является упорядоченная система
-мерных вектор-столбцов
,
,
где все компоненты вектор-столбца (
) равны нулю, кроме одной, которая равна единице и располагается в позиции, указываемой номером в его обозначении. Таким образом,
.
Нетрудно доказать, что упорядоченная система -мерных вектор-столбцов
, (1.11)
где (
), является базисом пространства
тогда и только тогда, когда квадратная
-матрица
,
столбцами которой являются векторы (
), является неособенной матрицей.
При этом если задан вектор-столбец , то для нахождения координатного вектор-столбца
в базисе (1.11) достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений
,
которая в силу неособенности матрицы , имеет единственное решение.
2) Линейное пространство . Элементарным базисом в
является упорядоченная система матриц
,
где все элементы матрицы (
) равны нулю, кроме одного, который равен единице и располагается в позиции, указываемой двумя номерами в обозначении. Таким образом,
.
Нетрудно доказать, что упорядоченная система матриц
, (1.12)
где (
), является базисом в
тогда и только тогда, когда матрица
,
столбцами которой являются вектор-столбцы
(
),
является неособенной квадратной матрицей.
При этом если задана матрица (
), то для нахождения координатного вектор-столбца
этой матрицы в базисе (1.12) достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений
,
где , которая в силу неособенности матрицы
, имеет единственное решение.
3) Линейное пространство
.
Известно (см. п. 2), что если , то система уравнений
имеет ровно линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему решений (ФСР):
, (1.13)
где .
При этом любое решение можно выразить в виде
,
где коэффициенты определяются однозначно. При этом координатный вектор-столбец вектора
имеет вид
. Таким образом, система (1.13) является базисом в пространстве
и
.
Пример 1.2. Найти базис и размерность пространства решений системы
Решение. Приводим матрицу системы к ступенчатому виду
.
Ранг матрицы . Принимая переменные
за базисные, а
за свободные (обозначаем при этом
), получим общее решение рассматриваемой ОСЛАУ
Составляем базис пространства решений
(фундаментальную систему решений, при этом
):
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 769 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!