Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Направление 080100
«Экономика»
Очная форма обучения
Рязань 2012
Тема 7. Линейные (векторные) пространства
1. Линейные пространства: определение (аксиомы).
Примеры линейных пространств.
Линейная зависимость, независимость системы векторов в ЛП.
Основные теоремы (свойства).
Базис и размерность ЛП, разложение вектора по векторам базиса.
Примеры базисов. Базис и размерность ЛП решений ОСЛАУ.
Переход от базиса к базису, свойства матрицы перехода.
Понятие линейного пространства
Центральное место среди всех понятий линейной алгебры занимает понятие линейного пространства.
Определение 1.1. Непустое множество элементов (векторов) , …,над которыми определены операции сложения двух векторов (при всех : ) и умножения вектора на число (при всех , : ) так, что выполняются условия (аксиомы):
: при всех ;
: при всех ;
: существует вектор такой, что для каждого ;
: для каждого существует вектор такой, что ;
: для каждого ;
: для каждого , при всех ;
: для каждого , при всех ;
: при всех , для каждого ,
называется линейным пространством.
Согласно определению линейного пространства сумма определена для любых элементов из и всегда является элементом множества . При этом говорят, что множество замкнуто относительно операции сложения. Аналогично, согласно тому же определению, множество замкнуто относительно операции умножения его элементов на действительные числа.
Прокомментируем аксиомы линейного пространства. Условия , называются соответственно аксиомами коммутативности и ассоциативности относительно сложения векторов. Условие есть аксиома существования нулевого вектора в пространстве. Условие есть аксиома существования противоположного вектора для каждого вектора пространства. Условие означает, что число 1 есть нейтральный элемент относительно умножения его на вектор пространства. Условие означает ассоциативность умножения на число. Условия и означают, что умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам и векторам соответственно.
В определении линейного пространства важно не только то, из каких элементов состоит базовое множество , но и как введены операции над элементами этого множества. Одно и то же множество при одних операциях может быть линейным пространством, а при других – нет.
Сформулируем простейшие свойства линейного пространства, непосредственно следующие из аксиом линейного пространства.
1) Линейное пространство имеет только один нулевой вектор .
2) Каждый вектор линейного пространства имеет только один единственный противоположный. Противоположным к нулевому вектору является сам нулевой вектор.
3) Если есть противоположный к элементу линейного пространства, то вектор является противоположным к вектору , то есть
.
4) Произведение произвольного элемента линейного пространства на число 0 равно нулевому вектору:
5) Вектор , противоположный данному вектору , равен произведению вектора на число :
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 523 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!