Тема. Средние величины и показатели вариации

1. Сущность и значение средних величин

2. Виды средних и способы их вычисления

3. Показатели вариации

-1-

Средняя величина в статистике – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Метод средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака единиц наблюдения х₁, х₂, …х_n некоторой величиной .

Исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:

- качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений;

- исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов. Это достигается в том случае, когда вычисление средней основывается на достаточно массовом материале, в котором проявляется действие закона больших чисел, и все случайности взаимно погашаются;

- при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована. Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т.п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины.

Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

В экономическом анализе использование средних величин – основной инструмент для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней. Она отражает общие черты изучаемого явления. Средние величины, рассчитанные для каждой группы, называются групповыми средними. Групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

-2-

В статистике применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая и др.

Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общими формулами (при различных значениях k):

простая степенная средняя =

взвешенная степенная средняя =

где – среднее значение исследуемого явления;

k – показатель степени средней;

х – текущее значение (вариант) осредняемого признака;

n – число единиц совокупности;

f – число единиц в i -й группе.

В зависимости от значения показателя степени к различают следующие виды степенных средних:

при k = -1 – средняя гармоническая ();

при k = 0 – средняя геометрическая ();

при k = 1 – средняя арифметическая ();

при k = 2 – средняя квадратическая ();

при k = 3 – средняя кубическая ().

Свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется в статистике правилом мажорантности средних.

Вид средней выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также принципами суммирования и взвешивания. Характер имеющихся данных определяет существование только одного истинного среднего значения показателя.

Кроме степенных средних в статистической практике используются структурные средние величины, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.

Средняя арифметическая

Cредняя арифметическая, представляет собой частное от деления суммы индивидуальных значений признака на их количество. Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается один или одинаковое число раз, то есть когда средняя рассчитывается по группировочным единицам совокупности.

Расчет средней арифметической простой:

=

где х₁, х₂, …х_n – индивидуальные значения варьирующего признака; n – число единиц совокупности.

Пример. Имеется информация о стаже пяти рабочих, при этом стаж первого рабочего составил 5 лет, второго – 7, третьего – 4, четвертого – 10, пятого – 12 лет.

Определить средний стаж работы.

Решение. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для определения среднего стажа одного рабочего следует применить формулу простой средней арифметической. В нашем примере средний стаж будет равен:

=

Среднюю арифметическую взвешенную рассчитывают в тех случаях, когда отдельные значения исследуемой совокупности встречаются не один, а много, причем неодинаковое число раз, то есть представляют собой ряд распределения.

Если индивидуальные значения признака (варианты) обозначить х₁, х₂, …х_n, а числа, показывающие, сколько раз повторятся варианты (частоты), – f₁, f₂, f₃, …, f_n, то средняя арифметическая взвешенная будет равна:

=

Средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений варианта (х) на их частоты или веса (f), поделенной на сумму частот.

Пример. Рассчитать среднюю заработную плату работников в бригаде из 20 человек, оплата труда которых варьируется от 2800 до 4400 руб., где x_i – варианты осредняемого признака, f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается i- е значение в совокупности.