Теоретична частина. Фізичний маятник – це тіло, яке може обертатись відно­сно довільної горизонтальної осі, що не прохо­дить через центр маси

Фізичний маятник – це тіло, яке може обертатись відно­сно довільної горизонтальної осі, що не прохо­дить через центр маси. Під дією моменту сили тяжіння mg, плече якої дорівнює L·sinα, тіло обертається навколо точки підвісу О (рис.5.2). L – відстань від точки О обертан­ня (точки підвісу) до точки С - центра маси тіла. Записуємо основне рівняння динаміки обер­тального руху

, (5.1)

I - момент інерції тіла, - кутове прискорення. Знак мінус враховує, що момент сили mg зменшує кут α. Таким чином, одержуємо диференціальне рівняння незатухаючих коливань фізичного маятника

. (5.2)

При малих кутах α (менших 5^о) можна вважити, що sin α = α. Одержуємо (5.3)

Порівнюючи одержане рівняння із загальним рівнянням незатухаючих гармонічних коливань , (5.4)

одержимо циклічну частоту коливань .Період коливань фізичного маятника

(5.5)

Розв’язком рівняння (5.4) є рівнян­ня незатухаючих гармонічних коливань

(5.6)

Для виконання першого пункту завдан­ня необхідно змінювати момент інерції мая­тника. Це здійснюється шляхом переміщен­ня вантажу 8 вздовж стержня 7 (рис.5.1). Але при цьому змінюється і положення центра маси, тобто відс­тань L, що також необхідно врахувати.

Момент інерції маятника відносно точ­ки коливання О дорівнює сумі моменту іне­рції ва­н­тажу (матеріальної точки) I_вант = МZ² і стерж­ня. Враховуючи теорему Штейнера, має­мо I_{стержня} = 1/12 mb² + m(b/2 – a)² (рис.5.3). Таким чином момент інерції маятника, як функція відстані Z від точки підвісу до центра ванта­жу

I = МZ² + 1/12 mb² + m(b/2 – a)² (5.7)

Знайдемо положення точки С центра мас маятника, тобто відстань L як функцію Z. За правилом моментів відносно точки С (рис.5.3) маємо

mgZ₁ = MgZ₂ (5.8)

Із рис.5.3 видно, що L = Z – Z₂, і Z₁ + b/2 =L + a. (5.9)

Із рівнянь (5.8) – (5.9) знаходимо

(5.10)

Підстановка (5.7) і (5.10) в (5.5) після піднесення (5.5) до квадрату дає

, (5.11)

де , ,

а . (5.12)

Таким чином, залежність Y = f(X) за теорією повинна бути ліні­й­ною. Експериментально досліджується залежність між періодом коливань Т фізичного маятника та відстанню Z вантажу до точки підвісу. Будується графік у координатах Y = f(X). Якщо одержується прямолінійний графік, то це підтверджує справедливість теоретичних формул (5.5) і (5.7), а по нахилу графіка можна розрахувати прискорення віль­ного падіння g. Співпадання його з табличним значенням 9,8 м/с² кількісно підтверджує справедливість теоретичних співвідношень.