Динамические параметры lti-моделей

Динамические свойства систем управления определяются величинами и соотношением полюсов (собственных значений) и нулей их lti-моделей. Поэтому для расчета нулей и полюсов были разработаны соответствующие функции.

Для определения полюсов используются функции pole и eig, которые можно применять к lti-моделям любого подкласса:

p=pole(sys)

p=eig(sys),

где р – массив полюсов в виде вектор-столбца.

При этом следует иметь в виду, что обе функции дают надежный результат только для некратных полюсов.

Пример 3.1. Вычисление полюсов непрерывной системы с ПФ Ф(s):

>> p1=pole(f)

p1 =

-2.7524 +24.1162i

-2.7524 -24.1162i

-19.5359

-2.6558 + 2.4233i

-2.6558 - 2.4233i

-1.4289

-0.5474

!! Задание 3.1. Определите с помощью функции eig полюсы дискретной системы, заданной передаточной функцией T(z).

Для определения нулей используется одна функция tzero в двух вариантах обращения:

z=tzero(sys)

[z, gain]=tzero(sys)

где z – вектор возвращаемых нулей lti-модели sys; gain – коэффициент передачи в zpk-модели.

Пример 3.2. Вычисление нулей динамической системы с ПФ Ф(s):

>> z2=tzero(f)

z2 =

-0.7166

-0.6461

!! Задание 3.2. Определите нули дискретной системы с ПФ Т(z).

Вместе с этими основными функциями часто используются еще две дополнительные функции для сортировки нулей и полюсов: esort – для непрерывных систем, dsort – для дискретных систем.

Функция esort используется для сортировки полюсов и нулей в порядке убывания их действительных частей, а функция dsort в порядке убывания их модулей.

Обе функции имеют две формы обращения:

q= esort(p), q= dsort(p)

[q, ndx]= esort(p), [q, ndx]= dsort(p),

где p – нули или полюсы lti-модели; q – вектор возвращаемых нулей (полюсов); ndx – вектор индексов нулей (полюсов), т.е. их порядковые номера до сортировки.

Пример 3.3. Сортировка полюсов и нулей непрерывной системы с ПФ Ф(s).

>> p3=esort(p1)

p3 =

-0.5474

-1.4289

-2.6558 + 2.4233i

-2.6558 - 2.4233i

-2.7524 +24.1162i

-2.7524 -24.1162i

-19.5359

>> z3=esort(z2)

z3 =

-0.6461

-0.7166

!! Задание 3.3. Произведите сортировку нулей и полюсов дискретной системы с ПФ Т(z).

Для графического отображения расположения полюсов и нулей на комплексной плоскости используется функция pzmap, которая имеет следующий синтаксис:

pzmap(sys),

где sys – непрерывная или дискретная lti-модель.

Комплексная плоскость строится по команде автоматически. Полюсы на ней изображаются маркером х, а нули – маркером о.

Пример 3.4. Получение схемы расположения нулей и полюсов непрерывной системы с ПФ Ф(s) на комплексной плоскости (рис.3.1) с помощью команды pzmap.

>> pzmap(f)

Рис. 3.1. Схема расположения нулей и полюсов

!! Задание 3.4. Постройте на z-плоскости план расположения нулей и полюсов дискретной системы с ПФ Т(z).

Имеется еще один вариант использования функции pzmap:

[p,z]= pzmap(sys)

при котором возвращаются значения полюсов и нулей lti-модели sys соответственно в виде векторов p и z, но без построения их схемы расположения на комплексной плоскости. Эта форма по существу объединяет действие функций pole и tzero.

Пример 3.5. Определение нулей и полюсов непрерывной системы с ПФ Ф(s) с помощью функции pzmap:

>> [p5,z5]= pzmap(f)

p5 =

-2.7524 +24.1162i

-2.7524 -24.1162i

-19.5359

-2.6558 + 2.4233i

-2.6558 - 2.4233i

-1.4289

-0.5474

z5 =

-0.7166

-0.6461

!! Задание 3.5. Вычислите полюсы и нули дискретной системы с ПФ Т (z) с помощью функции pzmap и сравните их значения с ранее полученными результатами.

Если lti-модель sys содержит комплексно сопряженные полюсы, то с помощью функции damp можно рассчитать собственные частоты ω₀ и коэффициент демпфирования ξ соответствующего им колебательного оператора s² + 2 ξω ₀s + ω ₀².

Функция имеет три формы обращения:

[W,Q]= damp(sys)

[W,Q,P]= damp(sys)

damp(sys)

В первом случае возвращаются значения собственных частот ω ₀ и коэффициентов демпфирования соответственно в виде векторов W, Q, во втором – дополнительно полюсы lti-модели в виде вектора Р, в третьем – полюсы в порядке возрастания их модуля, собственно модули и соответствующие им собственные частоты и коэффициенты демпфирования. При этом для операторов первого порядка коэффициент демпфирования принимается равным единице, а собственная частота – абсолютному значению полюса или нуля.

Для дискретной системы программа предварительно рассчитывает эквивалентные полюсы непрерывной lti-модели из соотношения z_i=exp(p_iT_s), где T_s – период квантования, а затем эквивалентные собственные частоты и коэффициенты демпфирования.

Пример 3.6. Расчет собственных частот и коэффициентов демпфирования непрерывной системы с ПФ Ф(s):

>> [W6,Q6]= damp(f)

W6 = 0.5474 1.4289 3.5952 3.5952 19.5359 24.2728 24.2728

Q6 = 1.0000 1.0000 0.7387 0.7387 1.0000 0.1134 0.1134

!! Задание 3.6. Вычислите эквивалентные значения полюсов, собственных частот и коэффициентов демпфирования дискретной системы с ПФ Т(z).

Кроме рассмотренных выше функций расчета динамических параметров имеется еще одна полезная функция dcgain, которая используется для вычисления коэффициента передачи lti-модели sys:

k= dcgain(sys).

Пример 3.7. Определение коэффициента передачи замкнутой САУ, заданной ПФ Ф(s):

>> k7= dcgain(f)

k7 = 9.9690

!! Задание 3.7. Вычислите коэффициент передачи дискретной системы с ПФ Т(z).