Квадратурная формула Симпсона

Предполагается, что промежуток [ a, b ] разбит на четное число n = 2 m равных промежутков длины h. На каждом из промежутков [ x_i, x_{i +2}] для

i = 0, 2, 4,…, (2 m – 2) функцию f (x) заменим на интерполяционный полином 2-го порядка g _i(x) = a_ix ² + b_ix + c_i, которому графически соответствует парабола, проходящая через 3 точки: (x_i, f (x_i)), (x_{i +1}, f (x_{i +1})) и (x_{i +2}, f (x_{i+ 2})). Интеграл от функции g_i (x) по промежутку [ x_i, x_{i +2}] даст приближенное значение интеграла , а сумма этих интегралов по всем участкам даст приближенное значение интеграла . Соответствующая квадратурная формула называется квадратурной формулой парабол, или квадратурной формулой Симпсона и имеет следующий вид:

, или

. (15)

В этой формуле:

– шаг сетки, т.е. длина промежутка [ x_i, x_{i +1}] для i = 0, 1, 2,…, 2 m – 1; y_i = f (x_i) – значения функции в узлах сетки (для i = 0, 1, 2,…, 2 m).