 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Погрешности вычислений
|
|
Приближенные вычисления.
1.1. Абсолютная и относительная погрешности
Практические вычисления проводятся над числами, которые могут быть заданы не только точно, но и приближенно. Правило округления чисел: если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то все сохраняемые цифры не изменяются, а если первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Примеры. 13523» 13500 = 135·102, 2,1564» 2,16, – 0,325» –0,33.
Обозначим 
– точное значение некоторой величины, a – приближенное значение этой величины (приближенное число).
Величину 
называют абсолютной погрешностью числа a.
В большинстве случаев неизвестно, однако, можно указать некоторое число D(a), оценивающее абсолютную погрешность приближенного числа, т.е. удовлетворяющее условию 
. Число D(a) называют предельной абсолютной погрешностью числа a. Обычно предельную абсолютную погрешность называют просто абсолютной погрешностью и записывают так: 
, причем в числах a и D(a) сохраняют одинаковое число знаков после запятой. При округлении предельной абсолютной погрешности ее значение всегда берется «с избытком», т.е. последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Примеры. 
= 3,1416 ± 0,0001; 
0, 67 ± 0,01.
Предельной относительной погрешностью числа a называют величину 
или 
100%. В случае, когда неизвестно, полагают, что d (a) = 
или d (a) = · 100%. Обычно предельную относительную погрешность числа называют просто относительной погрешностью.
Примеры. = 3,1416 ± 0,0001 
= а * = 0, 67 ± 0,01 
.
Первая слева цифра числа, отличная от нуля, и все цифры, расположенные правее нее, называются значащими цифрами числа. В записи погрешностей обычно оставляют одну значащую цифру, например, D(a) = 4·105, D(b) = 0,05, или d (х)= 3%.
Если приближенное число записано без указания его погрешности, то по умолчанию считается, что его абсолютная погрешность не превосходит единицы последнего сохраненного разряда в записи числа, например, запись
а» 2,320 означает, что D(a) = 0,001.
1.2. Вычисления с учетом погрешностей
При выполнении действий над приближенными числами происходит накопление погрешностей, и полученный результат не может быть точнее исходных данных.
Основные формулы для вычисления погрешностей арифметических операций:
D(с* · a) = с* ·D(a), если с* – точное число (константа);
; (1)
;
; (2)
;
. (3)
При выполнении арифметических операций обычно все промежуточные вычисления осуществляют с одной или двумя запасными десятичными цифрами по сравнению с желаемым результатом, а затем полученный результат округляют: либо до требуемой в задаче точности, либо в соответствии абсолютной погрешностью результата (например, если a = 12305362, D(a) = = 2·105, то a» 123·105; если b = 1,2345, D(b) = 0,05, то b» 1,23).
Примеры.
1. Найти разность чисел: a* = 1,24 ± 0,03 и b* = 7,361 ± 0,007.
Решение. Погрешность: D(a – b) = D(a) + D(b) = 0,037» 0,04 (формула (1)).
Результат вычитания: a – b = (1,24 – 7,361) ± 0,04» – 6,12 ± 0,04.
2. Найти отношение чисел: х = 0,255 и у = 34,01, если известна погрешность d (х)= 1%.
Решение. Приближенное число у записано без указания его погрешности, следовательно, D(у) = 0,01, откуда находим: d (у)= 
.
0,007498,
={формула (3)}= d (х) + d (у)= 0,01 + 0,0003 = 0,0103» 0,01,
.
Результат деления: 
.
Если значение аргумента функции y = f (x) – приближенное число х, то абсолютную погрешность значения функции оценивают по следующей формуле: 
,
где максимум модуля производной вычисляется как его наибольшее значение на промежутке 
.
Абсолютную погрешность значения функции 2 -х аргументов z = f (x, y) можно оценить по формуле:
, (4)
где максимум модулей частных производных находят среди всех их значений в области
Аналогично определяется абсолютная погрешность значения функции трёх и более переменных.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 1065 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
