Первый критерий обратимости матрицы

ТЕОРЕМА: Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда она представима в виде произведения элементарных матриц.

ДОКОЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: Если матрица А обратима то в силу лемма r=n и в равенстве А=ВDrС Dr является единичной матрицей, поэтому А=ВС. По построению каждая их матриц В и С является произведением элементарных матриц.

Достаточность: Если А является произведением элементарных матриц, то она обратима как произведение обратимых матриц.

Второй критерий обратимости матрицы

Пусть А ϵ M_mxn (|R).

Назовем матрицу вида Dr эквивалентной матрицы А, если она получена из матрицы А, при помощи элементарных преобразований (А~Dr)

Пусть А~Dr. Рангом матрицы А называют число r=rang A (rack A) можно показать, что число r определяется корректно в том смысле что он не зависит от элементарных преобразований приводящих матрицу А к виду Dr.

ТЕОРЕМА: Матрица А обратима тогда и только тогда когда ее ранк совпадает с порядком

rang A = n

ДОКОЗАТЕЛЬСТВО: Если rang A=n => r=n. Обратно если матрица А обратима, то она представима в силу первого критерия в виде произведения элементарных матриц. А=Е₁…Е_р Это равенство можно рассматривать как равенство в котором А=Е₁…Е_р*Еn*Еn, (Е₁…Е_р=В, Еn=С) но тогда Dr=Еr=> r=n, что равносильно rangA=n.