Понятие об обратной матрице

Пусть А ϵ M_mxn (|R). Будем говорить, что эта матрица обратима, если найдется такая квадратная матрица В такого же порядка, так что АВ=Е_n, ВА=Е_n

Если матрица А обратима то матрица В называется обратимой к ней, В=А^-1

Свойства:

1) Если матрица А обратима, то и обратная к ней матрица А^-1 обратима и при этом (А^-1)^-1=А;

(А^-1А=Е_n; АА^-1=Е_n)

2)Если матрица А, В обратимы, то и обратимо их произведение, при этом (АВ)^-1=В^-1А^-1

Доказательство:

(АВ)(В^-1А^-1)=А(ВВ^-1)А^-1=(АЕ_n)А^-1=Е_n; (В^-1А^-1)(АВ)=В^-1(А^-1А)В=В^-1(Е_nВ)=В^-1В=Е_n

3) Если матрица А обратима, то и транспонированная к ней матрица тоже обратима, при этом

(А^τ)^-1=(А^-1)^τ

Доказательство:

(АВ)^τ=В^τА^τ т.к. А^τ(А^-1)^τ=(А^-1А)^τ= =E_n

4) Единичная матрица любого порядка обратима и при этом (Е_n)^-1=E_n

5) Нулевая матрица любого порядка необратима.

Замечание: Существуют и не нулевые обратимые матрицы А= -необратима. Если допустить, что существует матрица В= следовательно АВ=Е₂, ВА=Е₂

b₁₁+b₁₂=1

b₁₂+b₂₂=0 следовательно что не существует такой матрицы В

b₁₁+b₂₁=0

Определение: Множество квадратных матриц порядка n которые являются обратимыми, будем называть группой обратимых матриц порядка n, GϵM_n(|R)