Распределение Гиббса для квантовых систем

Прежде чем перейти непосредственно к распределениям, имеет смысл осветить несколько наиболее важных отличий квантовой механики от классической. Во-первых, энергия квантуется (т.е. принимает ряд дискретных значений), а в классической механике она непрерывна. Поэтому условие нормировки выглядит так: . Здесь n – квантовое число, характеризующее определенное состояние системы.

Во-вторых, в квантовой механике нельзя абсолютно точно одновременно определить скорость и координату частицы. Существует соотношение неопределённостей Гейзенберга: , где h – постоянная Планка, показывающее предел точности определения скорости и координаты частицы. Следовательно, в фазовом пространстве существует элементарная ячейка, объем которой равен h³. Положение частицы в фазовом пространстве можно определить лишь с точностью до элементарной ячейки. Более точное определение невозможно.

В-третьих, в квантовой механике частицы одного сорта (например, электроны) принципиально неразличимы. Поэтому перестановки отдельных частиц, связанные с изменением их номеров, представляют собой одно и то же состояние. Следствием такой идентичности является уменьшение числа возможных микросостояний.

В квантовой механике, как и в классической, существуют два распределения Гиббса: микроканоническое (для изолированной системы) и каноническое (для системы, находящейся в термостате). Однако вид этих распределений несколько отличается от классического. Микроканоническое распределение можно представить в виде:

,

где - дельта-символ, равный единице при совпадении индексов и нулю в других случаях.

Каноническое распределение можно представить в следующем виде:

,

где z – статистическая сумма, которая находится по формуле

.