Парадокс с площадью

Мы знаем, если какую-либо фигуру разрезать на части, то ее площадь будет равна сумме площадей, составляющих ее частей. Например, рассмотрим рисунок 6

A B С D D A C B

Рис. 6

Если прямоугольник разрезать на части в виде прямоугольников А, В, С, D и затем поменять их местами как показано на рисунке, то площадь получившегося прямоугольника будет равна площади первого прямоугольника.

А теперь рассмотрим примеры, где это правило «нарушается».. Меняя положение частей А и С, как показано на рисунке 7, можно превратить прямоугольник с площадью в 30 кв. ед. в два меньших прямоугольника с общей площадью в 32 кв. ед.

На рисунке 7 прямоугольник имеет площадь 10 x 3 = 30 (кв. ед.). Если разрезать прямоугольник по указанным линиям, а затем сложить части так как показано на рисунке 8, то площадь новой фигуры можно найти, как сумму двух новых прямоугольников. Площадь получившейся фигуры, равна 32 кв. ед. (2 x 6) + (4 x5) = 32 (кв. ед.)

Рис 7 Рис 8

-7-

Объяснение:

Если в прямоугольнике на рис. 7 аккуратно провести диагональ, то окажется, что меньшие стороны треугольников D и С на самом деле не 2 единицы, а меньше, что на рисунке незаметно на глаз.

Можно начать с другой фигуры, рис. 8, составленной из двух меньших прямоугольников размером 2 х 6 и 4 х 5 единиц. Тогда линия, которая образуется из диагоналей малых прямоугольников, не будет прямой. Но будет очень близка к ней. Поэтому искривление незаметно на глаз. И фигура, рис. 7, составленная из частей малых прямоугольников, не будет, на самом деле, прямоугольником, так как эти части будут перекрываться по диагонали.

Вариант с прямоугольником.

Возьмём прямоугольника со 13 ед. и 5 ед. если разрезать его показано на рисунке 9,а затем вырезать заштрихованный прямоугольник в 15 кв. ед. и поменять местами части В и С, то вырезанный прямоугольник стал в 16 кв. ед.. Теперь если разрезать вырезанный прямоугольник (рис. 12), внутри его появится отверстие в одну квадратную единицу, теперь не хватает одного квадрата. Причем линейные размеры останутся прежними,т. е. 13 ед. и 5 ед.

-8-

:

Рис 9 Рис 10

Рис 11 Рис 12