Раздел «Гидродинамика»

Задача 1. У водомера Вентури диаметры сечений d₁ = 0,1 м, d₂ = 0,015 м, а разность пьезометрических напоров составляет Н = Н_п1 - Н_п2 = 1, 0 м. Найти расход жидкости в трубе, пренебрегая потерями напора.

Дано: Решение

d₁ = 0,1 м,

d₂ = 0,05 м, Водомер Вентури представляет собой

Н= Н_п1 - Н_п2 = 1,0 м цилиндрическую трубу с двумя разными

сечениями. Потери напора в таком устройстве

малы

Q =? и ими можно пренебречь.

За плоскость сравнения (нулевой уровень) удобно принять ось трубы. В этом случае геометрические напоры в сечениях 1 и 2 равны нулю. Пьезометрические напоры в сечениях 1 и 2 соответственно равны:

Н_п1 = Р₁/ ρg; Н_п2 = Р₂/ ρg, Н_п1 - Н_п2 = Н,

а скоростные напоры: Н_1ск = u_1ср² / 2g; Н_2ск = u_2ср² / 2g.

Уравнение Бернулли для данного конкретного случая принимает вид:

(Р₁/ ρg) + (u_1ср² / 2g) = (Р₂/ ρg) + (u_2ср² / 2g).

Переносим пьезометрический напор во втором сечении в левую часть уравнения, а скоростной напор в первом сечении – в правую:

(Р₁/ ρg) - (Р₂/ ρg) = (u_2ср² / 2g - u_1ср² / 2g);

Н = Н_п1 - Н_п2 = (u_2ср² / 2g) – (u_1ср² / 2g);

Для нахождения расхода достаточно найти значение средней скорости в одном из сечений. Для этого необходимо одно из значений скорости выразить через другое (чтобы в последнем уравнении осталось одно неизвестное вместо двух), используя уравнение неразрывности струи:

u_1ср · S₁ = u_2ср · S₂; В дальнейшем индекс (ср.) опустим для упрощения оформления решения.

Заменим первую скорость:

u₁ = u₂ · (S₂ / S₁) = u₂ · (π d₂²/4)/ (π d₁²/4) = u₂ · (d₂²)/ (d₁²);

Н= Н_п1 - Н_п2 = (u₂² / 2g) – [u₂ · (d₂²)/ (d₁²)]²/ 2g = (u₂² / 2g) ·{1 – [(d₂²)/ (d₁²)]²};

u₂² = 2g · Н / {1 – [(d₂²)/ (d₁²)]²} = 2· 9,8 м/с² ·1,0 м / [ 1 –(0,05/0,1)⁴ ] =

= 19,6 м²/с² / [ 1 – 0,0625 ] = 19,6 м²/с² / [0,9375] = 20, 907 м²/с².

u_2ср = √ 20, 907 м²/с² = 4, 57 м/с. S₂ = π d₂²/4.

Q = u_2ср · S₂ = 4, 57 м/с · 3,14 · (0,05 м)²/ 4 = 0, 00897 м³/с = 8,97 л/с.

Ответ: расход жидкости через данный расходомер Вентури составляет 8,97 л/с.

Примечание: водомер Вентури является простейшим прибором для измерения расхода жидкости. Уравнение для расхода жидкости можно представить в виде:

Q = К· √ (Н_п1 - Н_п2); Постоянный коэффициент К находят опытным путём, вносят в паспорт расходомера (или строят градуировочную кривую). Измеряя затем разность пьезометрических напоров, можно легко найти расход жидкости.

Задача 2.

Разность пьезометрическихнапоров Н=H_п1 - H_п2 = 20 см.

Полные потери напора между сечениями 1 и 2 равны 0,4 м.

Найти разность геометрических напоров z₁ - z_2,

считая диаметр трубы d

постоянным

Дано:

H = H_п1 - H_п2 = 20 см

h_1-2 = 0,4 м

z₁ - z₂ =? Решение:

Запишем уравнение Бернулли в общем виде для потока реальной жидкости:

[ z₁ + (Р₁/ ρg) + (α₁· u_1ср² / 2g)] – [ z₂ + (Р₂ /ρg) + (α₂·u_2ср² / 2g)] = h_1-2

Коэффициенты Кориолиса возьмём равными 1, так как о них в условиях задачи нет сведений. При равенстве диаметров сечений 1 и 2 средние скорости движения жидкости и скоростные напоры одинаковы. Их разность равна нулю. С учётом вышесказанного уравнение Бернулли упрощается и принимает следующий вид:

(z₁ - z₂ ) + (Р₁/ ρg - Р₂/ ρg) = h_1-2; (z₁ - z₂ ) + (H_п1 - H_п2 ) = h_1-2; Отсюда находим: z₁ - z₂ = h_1-2 - (H_п1 - H_п2 ) = 0 ,4 м - 0,2 м = 0,2 м.

Ответ: разность геометрических напоров H = 0,2 м.

Задача 3. Разность пьезометрических напоров в сечениях 1-1 и 2-2 равна 30 см. Определить коэффициент линейных потерь на участке между сечениями 1 и 2, если длина участка трубы L = 1 м, диаметр трубы d= 20 мм, а расход жидкости, протекающей по трубе Q= 0,54 л/с.

Решение:

Как и в предыдущей задаче запишем уравнение Бернулли в общем виде для потока реальной жидкости:

[ z₁ + (Р₁/ ρg) + (α₁· u_1ср² / 2g)] – [ z₂ + (Р₂ /ρg) + (α₂·u_2ср² / 2g)] = h_1-2

Коэффициенты Кориолиса возьмём равными 1, так как о них в условиях задачи нет сведений. При равенстве диаметров сечений 1 и 2 средние скорости движения жидкости и скоростные напоры одинаковы. Их разность равна нулю. По определению, геометрические напоры также одинаковы. Их разность тоже равна нулю. С учётом сказанного уравнение Бернулли принимает вид:

(H_п1 - H_п2 ) = h_1-2

Важный вывод: в горизонтальных трубах постоянного диаметра полные потери напора численно равны разности пьезометрических напоров в выбранных сечениях 1-1 и 2-2.

Так как на данном участке трубы местные сопротивления отсутствуют, полные потери равны линейным потерям напора. Согласно формуле Дарси:

h_л = λ · (L / d) · (u² / 2 g) Следовательно, в данном случае (H_п1 - H_п2 ) = λ · (L / d) · (u² / 2 g). Отсюда находим коэффициент линейных потерь:

λ = (H_п1 - H_п2 ) 2 g ·d / (L·U²)

Скорость движения жидкости в трубе находим через расход жидкости:

U = Q / S; S = π d²/4= 3,14· (0.02м)²=3,14 ·10^-4 м²

Подставляем значения и находим скорость

U = Q / S= (0,54 ·10^-3м³/с)/ 3,14 ·10^-4м²= 1,72 м/с

Находим коэффициент линейных потерь:

λ = (H_п1 - H_п2 ) 2 g ·d / L·U² = (0,3 м ·2·9,8 м/с²·0,02 м)/1 м·(1,72 м/с)²= 0,04

Ответ: коэффициент линейных потерь на участке трубы составляет 0,04.

Задача 5. Разность показаний трубки Пито и пьезометрической трубки составляет 20 см. Определить расход жидкости в данном сечении трубки Бернулли, если диаметр его равен 20 мм.

Трубка (справа, изогнутая) измеряет сумму пьезометрического и скоростного напоров.

Прямая, пьезометрическая трубка, измеряет только пьезометрический напор. Их разница и даст скоростной напор.

Дано: Решение:

Н - H_п = H_ск = 20 см; Из сказанного выше следует:

d = 20 мм; Н - H_п = H_ск = (u² / 2 g);

Q =?

Расход жидкости и скорость её движения связаны соотношением

Q = u · S = S·√ 2g ·H_ск = S·√ 2g · (Н-H_п) = (πd²/4) · √2g · (Н-H_п) =

= [3,14· (0,02 м)²/4] · √ 2 ·9,8 · м/с² · 0,2 м = 3,14 · 10^-4 · 1,98 м³/с = 6,22·10^-4 м³/с = 0,62 л/с.

Ответ: расход жидкости равен 0,62 л/с.

Задача 6. По трубе диаметром 5,06 см течёт вода со скоростью 1 м/с. Принимая плотность жидкости равной 1 г/см ³ , а динамическую вязкость 0,001 Па · с, определить число Рейнольдса, а затем коэффициент линейных потерь.

Дано: Решение:

d = 5,06 см Число Рейнольдса определяется следующим образом:

u = 1 м/с

η = 0, 001 Па · с Re = Re_d = ρ · u · d / η =

ρ = 1 г/см ³ = (1000 кг/м ³ · 1 м/с · 5,06 см) / 0,001 Па ·с =

= [ (10³ ·1 ·5,06 ·10^-2) кг/м · с ] / (10^-3 н ·с/ м²) =

Re =? λ =? 5,06 ·10 ⁴

н ·с/ м² = кг ·м · с / м² · с² = кг/м · с; (кг/м · с) / (кг/м · с) = 1.

Число Рейнольдса оказалось больше критического. Для нахождения коэффициента Дарси (коэффициента линейных потерь) используем формулу Блазиуса:

λ = 0,3164/ (Re^0,25) = 0,3164 / (5,06 ·10 ⁴ )^0,25 = 0,3164/ 15 = 0,02.

Ответ: Re = 5,06 ·10 ⁴; λ = 0,02.

Примечание: формула Блазиуса используется для нахождения коэффициента линейных потерь в случаях, когда 4000 < Re <10⁵ (подробнее см. лабор.раб.№ 3)

Задача 7. Из широкого бака вытекает по трубе вода со скоростью 2,5 м/с. Определить расстояние от поверхности воды в баке до оси трубы, если полные потери напора в трубе составляют 0,6 м. Диаметр трубы одинаков по всей её длине.

Дано:

u₂ = 2,5 м/с

h_1-2 = 0,6 м

Н =? -

Решение:

Проанализируем уравнение Бернулли для данного случая. За нулевой уровень

примем линию 0-0, совпадающую с осью трубы. Первый геометрический напор по определению z₁ = Н, а второй z₂ = 0.

Пьезометрические напоры в сечениях 1-1 и 2-2 одинаковы, так как

(Р₁/ ρg) = (Р_атм/ ρg); (Р₂/ ρg) = (Р_атм/ ρg); и H_п1 - H_п2 = 0. Как правило, диаметр трубы гораздо меньше диаметра бака d << D. Из уравнения неразрывности струи:

u₁ · S₁ = u₂ · S₂; u₁ · (d₁²)= u₂ · (d₂²).

следует, что u₂ » u₁ и скоростью движения жидкости в первом сечении можно пренебречь по сравнению со скоростью во втором сечении. Первый скоростной напор поэтому можно считать равным нулю.

Уравнение Бернулли для данного случая принимает следующий вид:

Н = (u₂² / 2g) + h_1-2 ; Н = (6,25 м²/с²)/ (2 · 9, 8 м/с²) +0,6 м = 0,92 м.

Ответ: расстояние от уровня поверхности жидкости в баке до центра трубы равно

Н= 0,92 м.